[Zaragoza]

Sea \(S\) una superficie regular. Sea \(R > 0\) y suponga que \(S\) está contenida en la clausura de la bola
\[B = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2+z^2<R^2\}\]
Suponga que existe un punto \(p\) en la intersección \(S\cap\partial B\). Demuestre que la curvatura gaussiana en \(p\) es al menos \(1/R^2\). Manteniendo todas las otras
hipótesis, suponga ahora que \(S\) está contenida en \(\mathbb{R}^3\setminus B\). ¿Existe ahora alguna restricción para el valor de la curvatura en \(p\)?

Para la primera interrogante se me ocurre que dicha superficie regular por estar contenida en la cerradura de \(B\) debe tener una curvatura gaussiana mayor o igual que la curvatura gaussiana de \(B\) es decir \(\geq 1/R^2\). Pero no sé como formalizarlo. Mientras que para la siguente pregunta creo que no se podría afirmar nada al respecto pues podemos tomar cualquier superficies regular fuera del la esfera con una curvatura gaussiana arbitraria. Agradecería que puedan comentarme si estoy en lo correcto o mi análisis está mal?

CORREGIDO

[Gustavo]

Hola.

Sea \(S\) una superficie regular. Sea \(R > 0\) y suponga que \(S\) está contenida en la clausura de la bola
\[B = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2+z^2<R^2\}\]
Suponga que existe un punto \(p\) en la intersección \( { \color{red} S \cap  \partial B }\). Demuestre que la curvatura gaussiana en \(p\) es al menos \(1/R^2\). Manteniendo todas las otras
hipótesis, suponga ahora que \(S\) está contenida en \( {\color{red}\mathbb{R}^3\setminus B }\). ¿Existe ahora alguna restricción para el valor de la curvatura en \(p\)?

Entiendo que en los problemas querías poner lo que puse en rojo.

Para la primera interrogante se me ocurre que dicha superficie regular por estar contenida en la cerradura de \(B\) debe tener una curvatura gaussiana mayor o igual que la curvatura gaussiana de \(B\) es decir \(\geq 1/R^2\). Pero no sé como formalizarlo.

Toma una curva \( \alpha \) contenida en \( S \) parametrizada por longitud de arco y tal que \( \alpha(0)=p  \). Nota que \( f(s):= |\alpha(s) |^2= \left\langle \alpha(s),\alpha(s)   \right\rangle \) tiene un máximo en \( s=0 \), así que \( f'({\color{red}0})=2 \left\langle \alpha,\alpha' \right\rangle =0 \). Deriva de nuevo y usa la desigualdad de Cauchy–Schwarz para acotar la curvatura de la curva.

Recuerda ahora que la curvatura Gaussiana se puede calcular como el producto de las curvaturas principales en el punto.

Mientras que para la siguente pregunta creo que no se podría afirmar nada al respecto pues podemos tomar cualquier superficies regular fuera del la esfera con una curvatura gaussiana arbitraria. Agradecería que puedan comentarme si estoy en lo correcto o mi análisis está mal?

Para afirmar eso deberíamos ser capaces de construir una superficie \( \widehat S \subseteq \mathbf R^3\setminus B\) con un punto \( p\in \widehat S\cap \partial B \) y tal que la curvatura de \( \widehat S \) en \( p \) sea \( \varepsilon \), para cualquier \( \varepsilon\in \mathbf R \) fijado.

Eso es claro si \( \varepsilon \geq 0 \) considerando esferas y planos.

Para \( \varepsilon <0 \), una opción es considerar paraboloides hiperbólicos de la forma \( z=ax^2-by^2 \) con \( a,b>0 \), que tienen curvatura \( -4ab<0 \) en \( (0,0,0)  \). Se traslada la bola \( B \) de tal forma que el "polo sur" quede en el origen y se escogen \( a \) y \( b \) de forma apropiada para que el paraboloide hiperbólico (i) esté en el complemento de la bola \( B \), (ii) tenga la curvatura deseada en el origen.

[Zaragoza]

Hola Gustavo, gracias por la aclaración ya corregí el texto.

Toma una curva \( \alpha \) contenida en \( S \) parametrizada por longitud de arco y tal que \( \alpha(0)=p  \). Nota que \( f(s):= |\alpha(s) |^2= \left\langle \alpha(s),\alpha(s)   \right\rangle \) tiene un máximo en \( s=0 \), así que \( f'(s)=2 \left\langle \alpha,\alpha' \right\rangle =0 \). Deriva de nuevo y usa la desigualdad de Cauchy–Schwarz para acotar la curvatura de la curva.

Recuerda ahora que la curvatura Gaussiana se puede calcular como el producto de las curvaturas principales en el punto.

He seguido los pasos que has mencionado, logré llegar a que  \( f'(0)=2 \left\langle \alpha(0),\alpha'(0) \right\rangle =0 \) pero ahí me he estancado. Derivando tengo esto \(f''(s)=2\langle \alpha',\alpha'\rangle+2\langle \alpha,\alpha''\rangle=2+2\langle \alpha,\alpha''\rangle\). Tal vez estoy haciendo algo mal, podrías orientarme por favor?
Respecto a la curvatura Gaussiana, claro recuerdo la existencia de las curvaturas principales \(k_1,k_2\) como los valores máximo y mínimos de la segunda forma fundamental, pero no sé como calcularlas sin tener una parametrización de la superficie. Tal vez hay maneras más sencillas de ver esto y me estoy complicando mucho la vida.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

He seguido los pasos que has mencionado, logré llegar a que  \( f'(0)=2 \left\langle \alpha(0),\alpha'(0) \right\rangle =0 \) pero ahí me he estancado. Derivando tengo esto \(f''(s)=2\langle \alpha',\alpha'\rangle+2\langle \alpha,\alpha''\rangle=2+2\langle \alpha,\alpha''\rangle\). Tal vez estoy haciendo algo mal, podrías orientarme por favor?

De ahí tienes que:

\( \color{red}|\color{black}\langle \alpha,\alpha''\rangle\color{red}|\geq \color{black}1 \)

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

\( 1\color{red}\leq |\color{black}\langle \alpha,\alpha''\rangle\color{red}|\color{black}\leq \|\alpha\|\|\alpha''\|\leq R\|\alpha''\| \)

de donde:

\( \kappa=\|\alpha''\|\geq \dfrac{1}{R} \)  (*)

Respecto a la curvatura Gaussiana, claro recuerdo la existencia de las curvaturas principales \(k_1,k_2\) como los valores máximo y mínimos de la segunda forma fundamental, pero no sé como calcularlas sin tener una parametrización de la superficie. Tal vez hay maneras más sencillas de ver esto y me estoy complicando mucho la vida.

Pero acabas de probar que la curvatura de cualquier curva cumple (*), ¿por tanto?...

Saludos.

CORREGIDO

[Zaragoza]

Hola Luis Fuentes, tienes toda la razón me había hecho problemas con la curvatura gaussiana cuando ya tenía todo para hacerlo. Si \( \langle \alpha,\alpha''\rangle=1 \), entonces el problema habría terminado pero no logro ver el motivo por el cual esto se cumple:

De ahí tienes que:

\( \langle \alpha,\alpha''\rangle=1 \)

Yo llegué a esto:

Dado que \(f\) toma un máximo en \(s=0\), tenemos que \[ f''(0)=2+2\langle\alpha(0),\alpha''(0)\rangle<0\Rightarrow 1+\langle \alpha(0),\alpha''(0)\rangle<0\Rightarrow \langle \alpha(0),\alpha''(0)\rangle\neq 1 \].

Sé que hay algo que no veo, agradecería mucho que puedan ayudarme a aclarar esa duda.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Yo llegué a esto:

Dado que \(f\) toma un máximo en \(s=0\), tenemos que \[ f''(0)=2+2\langle\alpha(0),\alpha''(0)\rangle<0\Rightarrow 1+\langle \alpha(0),\alpha''(0)\rangle<0\Rightarrow \langle \alpha(0),\alpha''(0)\rangle\neq 1 \].

Perdona. Cometí dos errores.

1) Olvidé el valor absoluto.
2) Supuse una igualdad que no es cierta.

Tienes en realidad:

\( \langle \alpha,\alpha'' \rangle\leq -1 \)

por tanto:

\( |\langle \alpha,\alpha'' \rangle|\geq 1 \)

Entonces:

\( 1\leq \color{red}|\color{black}\langle \alpha,\alpha''\rangle\color{red}|\color{black}\leq \|\alpha\|\|\alpha''\|\leq R\|\alpha''\| \)

Saludos.

[Zaragoza]

Muchas gracias Luis Fuentes. Ahora solo me queda analizar y hacer las cuentas a detalle de la segunda parte que mencionó Gustavo. Terminando el problema intentaré uno nuevo en caso tenga alguna duda estaré creando un nuevo tema.

Saludos y muchas gracias por sus colaboraciones.