[Saucedo]

(1)- Si \( a, b, c \in{Z} \) y \( ac=bc \) entonces \( a=b \)
(2)- Si \( A\subseteq{\mathbb{Z}} \) cumple que
(I)- \( 0\in{A} \)
(II)- \( n\in{A}, \) implica \( n+1\in{A} \) entonces \( A=\mathbb{Z} \)

[sugata]

(1)- Si \( a, b, c \in{Z} \) y \( ac=bc \) entonces \( a=b \)
(2)- Si \( A\subseteq{\mathbb{Z}} \) cumple que
(I)- \( 0\in{A} \)
(II)- \( n\in{A}, \) implica \( n+1\in{A} \) entonces \( A=\mathbb{Z} \)

Para el 1:
\( c=0 \)

Para el 2:
\( n<0  \) no pertenece a A luego...

[feriva]

No sé esto que digo, tengo dudas sobre el significado

Spoiler

Entiendo que \( A\subseteq{\mathbb{Z}}
  \) puede ser por, ejemplo, \( A\equiv\{-1,2\}
  \); la cuestión creo que estaría en que el hecho de que esté contenido en los enteros no implica que \( 0\in A
  \) (ni cero ni ningún entero en particular).

La segunda condición tampoco es cierta, si \( A\equiv\{-1,2\}
  \), entonces \( 2+1\notin A
  \)

[cerrar]

Saludos.

[geómetracat]

feriva, la pregunta no es si un subconjunto \( A \subseteq \Bbb Z \) cumple las condiciones i y ii. La pregunta es, ¿si tienes un subconjunto que cumple i y ii, necesariamente se sigue que \( A= \Bbb Z \)?
Es falso porque por ejemplo \( A=\Bbb N \) cumple ambas condiciones pero no es el conjunto de todos los enteros.

Pero fíjate que lo mismo cambiando \( \Bbb Z \) por \( \Bbb N \) sí es cierto: si tienes un subconjunto \( A \subseteq \Bbb N \) que cumple \( 0 \in A \) y \( n \in A \Rightarrow n+1\in A \), entonces \( A= \Bbb N \). De hecho este es el principio por el que funciona la inducción en \( \Bbb N \) (y no en \( \Bbb Z \)): los naturales están generados a partir del cero por sucesivas aplicaciones de la operación "siguiente".

[feriva]

feriva, la pregunta no es si un subconjunto \( A \subseteq \Bbb Z \) cumple las condiciones i y ii. La pregunta es, ¿si tienes un subconjunto que cumple i y ii, necesariamente se sigue que \( A= \Bbb Z \)?
Es falso porque por ejemplo \( A=\Bbb N \) cumple ambas condiciones pero no es el conjunto de todos los enteros.

Pero fíjate que lo mismo cambiando \( \Bbb Z \) por \( \Bbb N \) sí es cierto: si tienes un subconjunto \( A \subseteq \Bbb N \) que cumple \( 0 \in A \) y \( n \in A \Rightarrow n+1\in A \), entonces \( A= \Bbb N \). De hecho este es el principio por el que funciona la inducción en \( \Bbb N \) (y no en \( \Bbb Z \)): los naturales están generados a partir del cero por sucesivas aplicaciones de la operación "siguiente".

Muchas gracias, Geómetracat (ahí sí que he estado hecho un feriva viendo todo al revés ).

Saludos.

[feriva]

Hola, Geómetracat; no te he preguntado porque ya tengo la cabeza que me da vergüenza; pero te pregunto:
esto \(  A\subseteq{\mathbb{Z}}   \), ¿implica \(  A=\mathbb{Z}   \) siempre?  Es que no recuerdo bien el uso del símbolo ése. Sí que recuerdo con seguridad que \(  A\mathbb{\subseteq Z\wedge\mathbb{Z\subseteq}}A\Rightarrow A=\mathbb{Z}
  \), con cualquiera de los símbolos de contenido, pero lo otro no.

Entonces, sí fuera así, la cuestión es la siguiente:

Se cumple en principio \(  n\in A=\mathbb{Z}
  \) y cero pertence a A (pero eso ya está dicho al poner el contenido estricto, ¿no?).

Entonces, si busco el contraejemplo al sumar 1 no pierdo números en los negativos:
Si le sumo 1 al cero, pierdo el cero, pero luego hago -1+1 y lo recupero, aunque pierdo el -1. Si le sumo 1 al -2, pierdo el -2 y recupero el -1, pero al sumar 1 al -3 recupero el -2...
El que pierdo es el 1 al sumarle otro 1, que me da 2, luego 2+1=3... ya no lo obtengo nunca. ¿Es así?

Pero tampoco, porque 0+1=1



Saludos.

[robinlambada]

Hola feriva:

Hola, Geómetracat; no te he preguntado porque ya tengo la cabeza que me da vergüenza; pero te pregunto:
esto \(  A\subseteq{\mathbb{Z}}   \), ¿implica \(  A=\mathbb{Z}   \) siempre?  Es que no recuerdo bien el uso del símbolo ése. Sí que recuerdo con seguridad que \(  A\mathbb{\subseteq Z\wedge\mathbb{Z\subseteq}}A\Rightarrow A=\mathbb{Z}
  \), con cualquiera de los símbolos de contenido, pero lo otro no.

\( A\subseteq{}B \)  , quiere decir que A está incluido o es igual a B , pero no necesariamente A=B, basta con que esté incluido.

Entonces, sí fuera así, la cuestión es la siguiente:

Se cumple en principio \(  n\in A=\mathbb{Z}
  \) y cero pertence a A (pero eso ya está dicho al poner el contenido estricto, ¿no?).

Entonces, si busco el contraejemplo al sumar 1 no pierdo números en los negativos:
Si le sumo 1 al cero, pierdo el cero, pero luego hago -1+1 y lo recupero, aunque pierdo el -1. Si le sumo 1 al -2, pierdo el -2 y recupero el -1, pero al sumar 1 al -3 recupero el -2...
El que pierdo es el 1 al sumarle otro 1, que me da 2, luego 2+1=3... ya no lo obtengo nunca. ¿Es así?

Pero tampoco, porque 0+1=1



Saludos.

No te he entendido con lo que dices que se pierden números y se recuperan, 

La consición si \( n \in{A}\longrightarrow{}n+1\in{A} \) , solo es el principio de inducción , si un numero pertenece al conjunto el siguiente también, lo que ocurre es que comienza en el cero, por tanto no podemos asegurar que los números negativos pertenezcan al conjunto.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Hola, Geómetracat; no te he preguntado porque ya tengo la cabeza que me da vergüenza; pero te pregunto:
esto \(  A\subseteq{\mathbb{Z}}   \), ¿implica \(  A=\mathbb{Z}   \) siempre?

No, \(  A\subseteq{\mathbb{Z}}   \) significa \( A\subsetneq \mathbb{Z}\vee A=\mathbb{\mathbb{Z}} \).

P.D. Desenfundó antes robinlambada.

[feriva]

Hola, Geómetracat; no te he preguntado porque ya tengo la cabeza que me da vergüenza; pero te pregunto:
esto \(  A\subseteq{\mathbb{Z}}   \), ¿implica \(  A=\mathbb{Z}   \) siempre?

No, \(  A\subseteq{\mathbb{Z}}   \) significa \( A\subsetneq \mathbb{Z}\vee A=\mathbb{\mathbb{Z}} \).

P.D. Desenfundó antes robinlambada.

Gracias a los dos. Pues así ya desaparece la duda.

Saludos.

[Fernando Revilla]

A ver Saucedo, revisando tus últimos mensajes, sería interesante que leyeras detenidamente los apartados 1.6. y 1.7. de

        Lectura obligada antes de postear por primera vez.