Hola
En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \), considere el plano afin \( \pi \) que contiene a los tres puntos \( P_1=(1,0,-1,0), P_2=(0,1,0,0), P_3=(0,0,1,-2) \) y la recta \( r \) de ecuacion \( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0 \). Escribir las ecuaciones cartesianas y parametricas del hiperplano \( H \) tal que \( r\subset H \) y \( \pi \parallel H. \)
Hola, pude calcular los puntos:
\( P_2-P_1=(-1,1,1,0) \)
\( P_3-P_1=(-1,0,2,-2) \)
Esos no son puntos. Son vectores. Son los vectores directores del plano que a su vez también son vectores directores del hiperplano que buscamos.
Necesitamos un vector más y un punto, que serán el vector director de la recta y un punto de la misma.
De las ecuaciones de la recta:
\( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0 \)
Se deduce que pasa por el origen y un vector director de la misma es \( (-1,-2,1,0) \).
Por tanto el hiperplano que buscas es el que pasa por el origen y tiene por vectores directores \( (-1,-2,1,0),(-1,1,1,0),(-1,0,2,-2) \).
Su ecuación cartesiana se obtiene desarrollando:
\( \left|\begin{matrix}{x_1-0}&{x_2-0}&{x_3-0}&{x_4-0}\\-1&-2&1&0\\-1&1&1&0\\-1&0&2&-2\\\end{matrix}\right|=0 \)
y las paramétricas separando coordenadas en:
\( (x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0,0,0)+\alpha(-1,-2,1,0)+\beta(-1,1,1,0)+\gamma(-1,0,2,-2) \)
¿Es relevante el hecho de que \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \)?
Simplemente a la hora de hacer las cuentas operas en \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \). Por ejemplo:
\( 4\cdot 5=20=6=-1 \)
Saludos.
