[Zaragoza]

Hola, encrontré este problema, la parte \(1)\) me salió componiendo un difeomorfismo entre la esfera y el elipsoide con la proyección estereográfica normal (de la esfera), pero para el item \(2)\) no tengo una idea clara, alguién me podría ayudar?

Problema.- Considere el elipsoide
\[S=\left\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\right\}\subset\mathbb{R}^3,\;a,b,c>0.\]
Sea \(N=(0,0,c)\), el polo norte de \(S\). Defina la proyección estereográfica
\[\pi:S\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^2\times\{0\}\].

• ¿Es \(\pi\) un difeomorfismo?
• Si \(S\) no es una esfera, ¿puede \(\pi\) ser conforme?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, encrontré este problema, la parte \(1)\) me salió componiendo un difeomorfismo entre la esfera y el elipsoide con la proyección estereográfica normal (de la esfera), pero para el item \(2)\) no tengo una idea clara, alguién me podría ayudar?

Problema.- Considere el elipsoide
\[S=\left\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\right\}\subset\mathbb{R}^3,\;a,b,c>0.\]
Sea \(N=(0,0,c)\), el polo norte de \(S\). Defina la proyección estereográfica
\[\pi:S\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^2\times\{0\}\].

• ¿Es \(\pi\) un difeomorfismo?
• Si \(S\) no es una esfera, ¿puede \(\pi\) ser conforme?

Si fuese conforme también lo sería el difeomorfismo que has usado para componer en la primera parte del ejercicio. ¿Lo es?.

Saludos.

[Zaragoza]

Hola, al hacer las cuentas suponiendo que la aplicación que tomé es conforme se llega a que \(a^2=b^2=c^2\) es decir únicamente \(\pi\) es conforme cuando \(S\) es una esfera.

Saludos