Hola
Duda al resolver por método Gauss. ¿ Sólo se puede resolver por éste metodo los sistemas que generen matrices cuadradas?
No. Se puede aplicar para cualquier sistema. Por ejemplo:
\( x+y+z+t=3 \)
\( x+y+2z-t=1 \)
\( 2x+2y+3z=4 \)
La matriz ampliada asociada al sistema es:
\( \left(\begin{matrix}1 &1 & 1& 1\\ 1 &1 &2 &-1\\ 2&2&3&0\\\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}3\\1\\4\\\end{matrix}\right) \)
La escalonamos por Gauss. Restamos la primera fila a la segunda y la primera por dos a la tercera:
\( \left(\begin{matrix}1 &1 & 1& 1\\ 0 &0 &1 &-2\\ 0&0&1&-2\\\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}3\\-2\\-2\\\end{matrix}\right) \)
Restamos la tercera fila a la segunda:
\( \left(\begin{matrix}1 &1 & 1& 1\\ 0 &0 &1 &-2\\ 0&0&0&0\\\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}3\\-2\\0\\\end{matrix}\right) \)
Si todavía queremos usar Gauss-Jordan nos aseguramos que que todos los pivotes (primer elemento no nulo de cada fila) y hacemos ceros encima de ellos. En este caso basta con restar a la primera fila la segunda:
\( \left(\begin{matrix}1 &1 & 0& 3\\ 0 &0 &1 &-2\\ 0&0&0&0\\\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}5\\-2\\0\\\end{matrix}\right) \)
El rango de la matriz del sistema y la ampliada es dos. Coinciden. Es un sistema compatible. Es menor que el número de incógnitas por tanto es compatible indeterminado. La solución se puede expresar en función de:
\( \textsf{nº de incógnitas}-rango=4-2=2 \) parámetros.
Las columnas donde están los pivotes son las incógnitas y las demás parámetros. En este caso \( x,z \) incógnitas e \( y,t \) parámetros.
Pasando de forma escalonada a ecuación queda:
\( x+y+3t=5 \)
\( z-2t=-2 \)
Despejando directamente las incógnitas en función de los parámetros:
\( x=5-y-3t \)
\( z=-2+2t \)
Puede ser también indeterminado. Incompatible se produce cuando hay más ecuaciones que incógnitas
No necesariamente. El sistema podría tener mas ecuaciones que incógnitas y ser compatible, y además tanto determinado como indeterminado.
Spoiler
Por ejemplo el siguiente sistema de dos ecuaciones y una incógnita es compatible determinado:
\( x=1 \)
\( 2x=2 \)
O el siguiente de tres ecuaciones y dos incógnitas es compatible indeterminado:
\( x+y=1 \)
\( 2x+2y=2 \)
\( 3x+3y=3 \)
Y también podría tener más incógnitas que ecuaciones y ser incompatible.
Spoiler
Por ejemplo:
\( x+y+z=0 \)
\( x+y+z=1 \)
Es incompatible cuando no tiene solución.
e indeterminado es el caso contrario. El sistema solo tiene solución cuando es compatible determinado.
No. El sistema tiene solución cuando es compatible. Adicionalmente puede tener una sola solución, con lo cual sería compatible determinado o muchas con lo cual sería compatible indeterminado.
Pero decir que cuando es compatible indeterminado (muchas soluciones) no tiene solución carece de sentido alguno. No es la acepción técnica de tener solución ni la coloquial: nadie diría que un problema no tiene solución precisamente cuando tiene más de una.
Saludos.
