[Arya_Stark]

Hola a todos. Alguien podría ayudarme a demostrar las siguientes propiedades, lo agradecería bastante.
Se define \( \kappa(A)=\left\|{A}\right\|\cdot{\left\|{A^{-1}}\right\|}  \). Probar que
1) \( \kappa_2(A)=\kappa_2(A^T) \)
2)\( \kappa_1(A)=\kappa_\infty(A^T) \).
Trate de hacerlos con la definición pero no me salen.

[Fernando Revilla]

1) \( \kappa_2(A)=\kappa_2(A^T) \)

Sugerencia. Usa que \( \rho (A^TA)=\rho (AA^T) \) para demostrar que \( \left\|{A}\right\|_2=\left\|{A^T}\right\|_2 \). Usa también que la traspuesta de la inversa es la inversa de la traspuesta.

2)\( \kappa_1(A)=\kappa_\infty(A^T) \).

Sugerencia. Del teorema del cálculo de la normas matriciales \( 1 \) e \( \infty \) (relativo a las normas \( 1 \) de columnas y filas) se deduce que \( \left\|{A}\right\|_1=\left\|{A^T}\right\|_\infty \). Usa también que la traspuesta de la inversa es la inversa de la traspuesta.

[Arya_Stark]

En el primero con la propiedad que mencionas sale de inmediato, yo no tenia claro que \( \rho(A^TA) = \rho(AA^T) \), pensaba que solo era cierto para matrices normales. ¿Sabes como se puede demostrar?, me seria de gran ayuda.
En el segundo creo que me estaba confundiendo un poco con la escritura, pero ya veo que era algo bastante sencillo.
Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

En el primero con la propiedad que mencionas sale de inmediato, yo no tenia claro que \( \rho(A^TA) = \rho(AA^T) \), pensaba que solo era cierto para matrices normales. ¿Sabes como se puede demostrar?, me seria de gran ayuda.

La idea (detalles al margen) es que si \( \lambda \) es autovalor de \( A^tA \) entonces \( A^tAu=\lambda u \) y multiplicando por \( A \) por la izquierda \( AA^tAu=\lambda Au \), es decir, \( (AA^t)Au=\lambda Au \). Por tanto \( A^tA \) y \( AA^t \) tienen los mismos autovalores.

Saludos.

[Fernando Revilla]

En el primero con la propiedad que mencionas sale de inmediato, yo no tenia claro que \( \rho(A^TA) = \rho(AA^T) \), pensaba que solo era cierto para matrices normales. ¿Sabes como se puede demostrar?, me seria de gran ayuda.

También, amén de lo que dice Luís, para matrices \( A,B\in \mathbb{K}^{n\times n} \) se verifica que \( AB \) y \( BA \) tienen el mismo polinomio característico. Mira el apartado 1 aquí.

[Arya_Stark]

Ya me queda todo claro, muchas gracias a los dos.
Saludos.