[moraat]

Probar que si dos sucesiones, \( (x_n) \) e \( (y_n) \), son de Cauchy en un espacio métrico, entonces la sucesión \( a_n=d(x_n,y_n) \) converge. Alguna ayuda con este problema?. Gracias.

[robinlambada]

Hola.

Probar que si dos sucesiones, \( (x_n) \) e \( (y_n) \), son de Cauchy en un espacio métrico, entonces la sucesión \( a_n=d(x_n,y_n) \) converge. Alguna ayuda con este problema?. Gracias.

Entiendo que \(  a_n=d(x_n,y_n)=\left |{x_n-y_n}\right |  \) , basta probar que \( a_n  \) , también es una sucesión de Cauchy

Es decir , debes probar que  \( \forall{}\epsilon>0\, \exists{N} : \, n,m >N_0  \) entonces \( \left |{a_n-a_m}\right |<\epsilon \)

Tienes por definición que:

 \( \forall{}\epsilon_1>0 \,\exists{N_1} : \, n1,m1>N_1 \) entonces \( \left |{x_{n1}-x_{m1}}\right |<\epsilon_1 \)
 

 \( \forall{}\epsilon_2>0 \,\exists{N_2} : \, n2,m2>N_2  \) entonces \( \left |{y_{n2}-y_{m2}}\right |<\epsilon_2 \)

Toma \( \epsilon_1 \) y \(  \epsilon_2 \) tal que \( \epsilon_1+\epsilon_2\leq{}\epsilon \)

También toma \( N=máx \{N_1,N_2\} \)  y Utiliza que \( \left |{a_n-a_m}\right |=\left |{\left |{x_n-y_n}\right |-\left |{x_m-y_m}\right |}\right | \)

Saludos.

[moraat]

Su razonamiento es correcto, pero no tiene por que ocurrir que la distancia sea la usual, estamos trabajando en un espacio métrico, de ahí mi duda. Saludos

[robinlambada]

Su razonamiento es correcto, pero no tiene por que ocurrir que la distancia sea la usual, estamos trabajando en un espacio métrico, de ahí mi duda. Saludos

Entonces, debes definir exactamente que es \( a_n=d(x_n,y_n) \) si defines \( a_n=d(x_n,y_n)=\left\|{x_n -y_n}\right\| \).
Entonces  la idea es la misma , puedes utilizar la propiedad triangular.

Las paginas 1 y comienzo de la 2  y sobre todo la 3 y 4 de este documento te pueden ayudar.

http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/AnalisisI/2014-15/Normados.pdf

Pero insisto que debes definir el concepto de distancia.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 No hace falta saber con que distancia estamos trabajando. Basta (como apunta robinlambada) usar la desigualdad triangular que funciona en cualquier espacio métrico. La clave es que:

\( a_n-a_m=d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)\leq d(x_n,x_m)+d(x_m,y_n)-d(x_m,y_m)\leq d(x_n,x_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_n)-d(x_m,y_m)=d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m) \)

 y lo análogo para \( a_m-a_n \) de donde:

\( |a_n-a_m|\leq d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m) \)

 Luego ya funciona la idea de robinlambada.

Saludo.

[robinlambada]

Hola

 No hace falta saber con que distancia estamos trabajando. Basta (como apunta robinlambada) usar la desigualdad triangular que funciona en cualquier espacio métrico. La clave es que:

\( a_n-a_m=d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)\leq d(x_n,x_m)+d(x_m,y_n)-d(x_m,y_m)\leq d(x_n,x_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_n)-d(x_m,y_m)=d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m) \)

 y lo análogo para \( a_m-a_n \) de donde:

\( |a_n-a_m|\leq d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m) \)

 Luego ya funciona la idea de robinlambada.
Cierto con la propiedad triangular no es necesario saber con que distancia trabajamos. Gracias
Saludo.