[jorge_nunez]

Hola. ¿Cómo andan?
Tengo una duda con un ejercicio sobre transformaciones lineales. El ejercicio es el siguiente:

Dada \( f:R^3\rightarrow{R^3} \) dada por:

\( f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_2+2x_3,2x_1+x_2+2x_3,2x_1+x_2+x_3) \),

a) Calcular \( [f]_B \) con \( B={(-1,1,0),(-1,0,1),(1,1,1)} \).
b) Verificar que \( f \) es isomorfismo.
c) Exhibir una matriz inversible \( P\in{R^{3X3}} \) tal que \( [f]_B=P^{-1}[f]_EP \). ¿Cuál es?

Aclaración: la base \( E \) es la canónica. No sé si se usan diferentes notaciones, por eso aclaro.

Para el inciso a), por lo que tenía entendido, \( [f]_B \) me daba las coordenadas de un vector (del espacio de salida) en esa base, pero no me dan ningún vector ¿Qué puedo hacer?

El inciso b) es sencillo.

Para el inciso c), se me ocurrió multiplicar por \( P \) a la izquierda de ambos miembros y la ecuación me queda \( P[f]_B=I[f]_EP \), pero si no tengo \( [f]_B \) (ni \( [f]_E \)) no puedo llegar a más que eso. ¿Esta bien pensado?


Muchas gracias.

[delmar]

Hola
Las coordenadas respecto a B, se refieren al transformado de un vector generico, y es igual al producto de la matriz de f respecto a B, con las componentes del vector generico respecto a B.


Saludos

[jorge_nunez]

Disculpa, no terminé de entender.

¿La base  \( B \) que me dan es del conjunto de llegada? Aún así, no sé cómo calcular la matriz de \( f \) sin tener vectores del conjunto de salida. La forma que había aprendido es transformar los vectores del conjunto de salida, buscar sus coordenadas en la base del conjunto de llegada (generalmente también dato) y esas eran las columnas de la matriz.

¿El transformado de un vector genérico es como me lo dan en el enunciado? Es decir, \( f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_2+2x_3,2x_1+x_2+2x_3,2x_1+x_2+x_3) \). Aún así, no sé cómo continuar con el ejercicio.

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

¿La base  \( B \) que me dan es del conjunto de llegada? Aún así, no sé cómo calcular la matriz de \( f \) sin tener vectores del conjunto de salida. La forma que había aprendido es transformar los vectores del conjunto de salida, buscar sus coordenadas en la base del conjunto de llegada (generalmente también dato) y esas eran las columnas de la matriz..

La matriz \( [f]_B \) es la matriz asociada a la aplicación respecto a la base \( B \), tanto en el espacio de salida como en el de llegada.

La matriz es aquella cuyas columnas son las coordenadas respecto a la base \( B \) de las imágenes de los vectores de la base \( B \). Por ejemplo:

\( f(-1,1,0)=(1,-1,-1)=- \dfrac{2}{3}\cdot (-1,1,0)- \dfrac{2}{3}\cdot (-1,0,1)- \dfrac{1}{3}(1,1,1) \)

Por tanto la primera columna de la matriz asociada pedida es: \( \left(-\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3}\right) \).

Sin embargo, en realidad la forma más fácil de hallar la matriz pedida es usar el apartado (c). Hallar la matriz \( [f]_E \) respecto de la base canónica (que es muy inmediata) y usar la fórmula de cambio de base que se indica donde la matriz \( P \) es aquella cuyas columnas son los vectores de la base \( B \).

Saludos.

[jorge_nunez]

Creo que ye entendí. Más tarde lo voy a hacer completo y revisar cualquier duda que surja.

Una última (por ahora, al menos). Lo que estoy intentando en el apartado c) ¿esta bien? o ¿se tiene que hacer de forma diferente?

Muchas gracias a los dos por las respuestas.

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que ye entendí. Más tarde lo voy a hacer completo y revisar cualquier duda que surja.

Una última (por ahora, al menos). Lo que estoy intentando en el apartado c) ¿esta bien? o ¿se tiene que hacer de forma diferente?

Para el (c) vuelve a leer el final de mi mensaje anterior. Allí está la respuesta.

Saludos.

[jorge_nunez]

Claro. Me concentré tanto en el apartado a) que no leí bien el final.

Muchas gracias.