[wild_iyou]

Hola a todos.
Quisiera saber si me pueden dar una ayuda para mostrar esta igualdad para una matriz   \[ \mathbf{A}\quad 2\times 2\] invertible.
\[ \operatorname{cond}(\mathbf{A})=\sigma+\left(\sigma^{2}-1\right)^{\frac{1}{2}}\].
Donde \[\sigma=\frac{\sum_\limits{i, j=1}^{2}\left|a_{i j}\right|^{2}}{2|\operatorname{det}(\mathbf{A})|} \].
Traté de usar esta propiedad para matrices \[n\times n\] invertibles
 \[\operatorname{cond}(\mathbf{A})=\frac{\max _{1 \leq i \leq n}\left|\lambda_{i}(\mathbf{A})\right|}{\min _{1 \leq i \leq n}\left|\lambda_{i}(\mathbf{A})\right|} \], donde \[\lambda_{i}\] son los valores propios de \[\mathbf{A}\] pero no logré mucho.
Se define \[\operatorname{cond}(\mathbf{A})\] como \[\operatorname{cond}(\mathbf{A})=\|A \|\|A \|^{-1} \] y la norma de \[\mathbf{A}\] está dada por \[ \|\mathbf{A}\|= \sup \frac{\|\mathbf{A}x\|}{\|x\|}\].

Les agradezco su ayuda.

[Gustavo]

Hola.

Traté de usar esta propiedad para matrices \[n\times n\] invertibles
 \[\operatorname{cond}(\mathbf{A})=\frac{\max _{1 \leq 1 \leq n}\left|\lambda_{i}(\mathbf{A})\right|}{\min _{1 \leq 1 \leq n}\left|\lambda_{i}(\mathbf{A})\right|} \], donde \[\lambda_{i}\] son los valores propios de \[\mathbf{A}\]

Esa propiedad se cumple si la matriz A es normal. En general tienes una caracterización similar pero con los valores propios de \( AA^* \):

 \[\operatorname{cond}(\mathbf{A})=\frac{\max _{1 \leq 1 \leq n} \sqrt{ \left|\lambda_{i}(\mathbf{AA^*})\right| } }{\min _{1 \leq 1 \leq n}\sqrt{\left|\lambda_{i}(\mathbf{AA^*})\right|}} \]

Entonces, para el problema, si \( A=(a_{ij} ) \) y \(  \alpha = \sum_{i,j=1}^2|a_{ij} |^2 \), calcula el polinomio característico de \( AA^* \) y nota que es \(  t ^{2}-\alpha t+|\det(A)|^2 \). Así que el número de condición es

$$
\displaystyle \sqrt{ \frac{\alpha+\sqrt{\alpha^2-4|\det(A)|^2 } }{ \alpha-\sqrt{\alpha^2-4|\det(A)|^2 } } },
$$

expresión que puedes simplificar (multiplicando por el "conjugado", ...) a la que quieres.

Editado: Módulo agregado a los determinantes.

[wild_iyou]

Hola.
Gracias por responder.
Ahora, para la propiedad que mencionas

Esa propiedad se cumple si la matriz A es normal. En general tienes una caracterización similar pero con los valores propios de \( AA^* \):

 \[\operatorname{cond}(\mathbf{A})=\frac{\max _{1 \leq 1 \leq n} \sqrt{ \left|\lambda_{i}(\mathbf{AA^*})\right| } }{\min _{1 \leq 1 \leq n}\sqrt{\left|\lambda_{i}(\mathbf{AA^*})\right|}} \]

¿Cómo se puede probar?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.
Gracias por responder.
Ahora, para la propiedad que mencionas

Esa propiedad se cumple si la matriz A es normal. En general tienes una caracterización similar pero con los valores propios de \( AA^* \):

 \[\operatorname{cond}(\mathbf{A})=\frac{\max _{1 \leq 1 \leq n} \sqrt{ \left|\lambda_{i}(\mathbf{AA^*})\right| } }{\min _{1 \leq 1 \leq n}\sqrt{\left|\lambda_{i}(\mathbf{AA^*})\right|}} \]

¿Cómo se puede probar?

Partiendo de esta definición:

Se define \[\operatorname{cond}(\mathbf{A})\] como \[\operatorname{cond}(\mathbf{A})=\|A \|\|A \|^{-1} \] y la norma de \[\mathbf{A}\] está dada por \[ \|\mathbf{A}\|= \sup \frac{\|\mathbf{A}x\|}{\|x\|}\].

y de que \( \|A\|_2 \) es lla raíz del radio espectral de \( A^tA \), sale. Esto está probado por ejemplo aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=27974.msg110022#msg110022

Saludos.

[wild_iyou]

Muchas gracias a los dos.

[wild_iyou]

Hola, vuelvo a escribir pues al calcular el polinomio característico obtengo la  la expresión \[t ^{2}-\alpha t+\det(\mathbf{A\overline{A}})\], pero no encuentro error. ¿Hay alguna propiedad que deba usar?.

[Gustavo]

Hola. \( \det(\mathbf{A\overline A})=\det(\mathbf A)\det(\mathbf{\overline A})=\det(\mathbf A)\overline{\det(\mathbf A)}=|\det(\mathbf A)|^2. \) 

Me faltó el módulo en mi respuesta original, pero ya lo puse.

[wild_iyou]

Gracias.