\( F=G \frac{m_1 m_2}{r^2} \)
Las unidades son \( [F]=Kg \cdot{\frac{m}{s^2}}=Newtons \)
¿Que unidades tiene la constante G?
Si tuviese una fuerza adimencional \( \vec{F} \) es decir \( [F]=N=1 \) ¿Que unidades cambiarían en G?
Usa la fórmula de la gravedad de un cuerpo como puede ser la Tierra, que es más fácil.
\( G\frac{M}{r^{2}}=g
\).
Ponemos las unidades en SI (sistema internacional):
\( \dfrac{GM{\color{blue}kg}}{r{\color{blue}m}^{{\color{blue}2}}}=g\dfrac{{\color{blue}m}}{{\color{blue}s^{2}}}
\).
\( G=\dfrac{gr}{M}\cdot\dfrac{{\color{blue}m^{3}}}{{\color{blue}kg\cdot}{\color{blue}s^{2}}}
\).
Entonces si tomas la inversa de G, que es mejor para visualizar qué tipo de cosa es, tiene estas unidades: las de una
volumen densidad por un tiempo al cuadrado:
\( \dfrac{1}{G}=\dfrac{kg}{m^{3}}\cdot s^{2}
\).
Pero hagamos otra cosa:
La velocidad final con la que cae una piedra al suelo partiendo desde el resposo es
\( v=\sqrt{2gr}
\) y el tiempo que tarda es \( t=\sqrt{\dfrac{2r}{{\color{red}g}}}={\color{red}\sqrt{\dfrac{2r^{3}}{mG}}}
\). Y las variables son las mismas que tenemos en la fórmula de origen, en la de la gravedad (r es una distancia de caída igual a la del radio, teórica, porque no caería).
Entonces, ese tiempo al cuadrado es \( {\color{red}t^{2}=\dfrac{2r^{3}}{mG}}
\) y despejando podemos expresar el radio así \( {\color{red}r^{3}=\dfrac{mGt^{2}}{2}}
\).
(
perdón, que antes había puesto G donde era g y así además no se veía lo que quería decir).
Por otro lado tenemos que considerando la Tierra una esfera su densidad es \( \rho=\dfrac{3m}{4\pi r^{3}}
\).
Operando con todas estás fórmulas llegarás a esta otra:
\( \rho t^{2}=\dfrac{3}{2\pi G}=7,158\times10^{9}
\); que es una constante que encontré un día y a la que bauticé como “ñ”.
Pero no tiene ninguna utilidad práctica; puede usarse para calcular las mismas cosas variando el “dibujo” de las fórmulas, eso sí, y tiene una interpretación más “visible; es el producto de la densidad del cuerpo por el cuadrado de un tiempo que relaciona al cuerpo con objetos cercanos a él (
o más exactamente, es el tiempo asociado a la velocidad de escape del cuerpo)
Spoiler
Sí pienso que puede tener cierto interés teórico, porque hace quizá que nos plantemos preguntas como, por ejemplo, hasta qué punto son realmente ajustados o seguros algunos valores que se estiman en el modelo cosmológico (como el tiempo de existencia del Universo y cualquier cosa que dependa de que G sea realmente una constante Universal -como así se considera-, o que, en otro caso, pueda ser una constante local más o menos predominante.
De hecho, G es la es la constante con mayor incertidumbre de todas las constantes de la física, dado que el experimento de la balanza de Cavendish es muy... no sé, da unos resultados con mucho margen).
Saludos.
