Hola
Cómo puedo probar que si tenemos, \( f:X \longrightarrow{Y} \), \( M \subset{X} \) cerrado, \( f^{-1}(M) \) es cerrado en Y, entonces F es continua. Saludos.
Debería de ser: si para todo \( M\subset Y \) cerrado, \( f^{-1}{M} \) es cerrado en \( X \), entonces \( F \) es continua. Y de hecho es un si y sólo si.
Entiendo que partes de la definición topológica de continuidad. Una función es continua si y sólo si la imagen recíproca de un abierto es abierta.
Entonces sea \( U \) abierto en \( Y \). \( M=Y-U \) es cerrado en \( Y \) por ser el complementario de un abierto.
Por hipótesis \( f^{-1}(M) \) es cerrado en \( X \), pero \( f^{-1}(M)=f^{-1}(Y-U)=X-f^{-1}(U) \) y por tanto \( f^{-1}(U) \) es abierto por ser el complementario de un cerrado.
Saludos.
