Muy buenas, estoy comenzando un curso de Física Cuántica y una de los primeros ejercicios propuestos es el siguiente:
Se nos pide que, sabiendo el Principio de Propagación de Feynman de una partícula de masa \( m \) sometida a un potencial \( U(x,t) \) desde el punto \( (x_{1},t{1}) \) al punto \( (x,t) \) en el límite \( \Delta t = t-t_{1}\rightarrow{}0 \):
\( K(x,t;x_{1},t{1})\equiv{}\left<{}x,t | x_{1},t_{1}\right>=Ae^{i{S}\over{\hbar}}=\sqrt{{m}\over{i2\pi\hbar\Delta t}}exp\left[\frac{i}{\hbar} \left( \frac{m(x-x_{1})^2}{2\Delta t}-U(\frac{x+x_1}{2},t)\Delta t\right)\right] \)
Y usando el postulado de propagación:
\( \left<{}x_2,t_2 | x_{1},t_{1}\right>=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \left<{}x_2,t_2 | x,t\right>·\left<{}x,t | x_{1},t_{1}\right>, dx \)
Demostrar que \( A=\sqrt{{m}\over{i2\pi\hbar\Delta t}} \)
Para ello se nos dice que la energía pontencial \( U(x,t) \) no influirá en dicho factor ya que cuando \( \Delta t \rightarrow{}0 \Rightarrow{} U(x,t)\rightarrow{}0 \)
Y se nos da la siguiente integral para ayudarnos a obtener el resultado:
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ax^2+b}dx=\sqrt{\frac{\pi}{-a}}e^{\frac{-b^2}{4a}} \)
Para calcularlo, introduje el \( \left<{}x,t | x_{1},t_{1}\right> \) en el postulado de propagación partiendo el intervalo en dos \( \frac{\Delta t}{2} \) quedándome:
\( \left<{}x,t | x_{1},t_{1}\right>=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \left<{}x,t | x',t'\right>·\left<{}x',t' | x_{1},t_{1}\right>, dx' \)
donde \( (x',t') \) es el punto intermedio a \( \frac{\Delta t}{2} \) de los otros dos.
Después de eso introduzco la definición del Principio de Propagación de Feynman y opero sumando los exponentes de las exponenciales y usando que \( U(x,t)\rightarrow{}0 \) llegando a la integral:
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}A^2 exp\left[ \frac{im}{\hbar \Delta t}\left( (x-x')^2+(x'-x_1)^2 \right) \right]dx' \)
Donde supongo que debería llegar a algo parecido a la integral que me dieron para obtener el resultado que me piden. Pero no sé si me he confundido en algún concepto o paso previo o si no soy capaz de llegar a una expresión donde la integral anterior me resulte útil.
Cualquier ayuda apuntando donde me he podido confundir o que no estoy entendiendo correctamente sería muy apreciada.
Gracias de antemano y un saludo!
