[Mariomarquez]

Hola, alguien sabe demostrar lo siguiente:

 Sea\(  f  \)una función no negativa cuyo dominio es el intervalo \( [a,b]  \)donde \( a \) y \( b \) son enteros, \( a<b \). Sea \( S \) el conjunto de puntos \( (x,y) \) que satisfacen \( a\leq{x}\leq{b},0\leq{y}\leq{f(x)} \). Demostrar que el numero de puntos de red pertenecientes a \( S \) es igual a la suma:

   \( S=\sum_{i=a}^b{E[f(i)]} \)

Gracias, un saludo.

[robinlambada]

Hola.

Hola, alguien sabe demostrar lo siguiente:

 Sea\(  f  \)una función no negativa cuyo dominio es el intervalo \( [a,b]  \)donde \( a \) y \( b \) son enteros, \( a<b \). Sea \( S \) el conjunto de puntos \( (x,y) \) que satisfacen \( a\leq{x}\leq{b},0\leq{y}\leq{f(x)} \). Demostrar que el numero de puntos de red pertenecientes a \( S \) es igual a la suma:

   \( S=\sum_{i=a}^b{f(i)} \)

Gracias, un saludo.

Desconocía que es una red, pero viendo esta referéncia:

Definición de red en wikipedia

Si utilizamos la base canónica y sin contar los puntos del eje x, ¿no debería ser: \( S=\sum_{i=a}^b E[f(i)] \)? con \( E[x] \) parte entera de x, pues interpreto que el número de puntos de la red debe ser un número natural.


Fíjate que puedes sumar la red contando los puntos de todas las columnas, con el numero de columnas \( n=b-a+1
 \) , siendo para \( x=a \) la primera columna \( x=a+1 \) la segunda y  \(  x=b \) la última , solo tienes que contar los puntos de cada columna i , que estará relacionado con \( f(i) \)

Saludos.

[robinlambada]

Hola, si contamos también los puntos de la red del del eje x , es decir \[ f(i)=0 \], entonces creo que la suma de los puntos de la red debe ser :

\( \color{blue}S=\sum_{i=a}^b  E[f(i)]+b-a+1 \)

¿Estoy interpretando bien el concepto de red?

Gracias.

Modificado

[robinlambada]

En este caso entiendo que gráficamente , si cogemos  la base canónica (0,1) y (1,0)  la red tendría este aspecto.

imagen

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

 Sea\(  f  \)una función no negativa cuyo dominio es el intervalo \( [a,b]  \)donde \( a \) y \( b \) son enteros, \( a<b \). Sea \( S \) el conjunto de puntos \( (x,y) \) que satisfacen \( a\leq{x}\leq{b},0\leq{y}\leq{f(x)} \). Demostrar que el numero de puntos de red pertenecientes a \( S \) es igual a la suma:

   \( S=\sum_{i=a}^b{f(i)} \)

Gracias, un saludo.

 Lo mejor es que confirmes a que llamas puntos de red y si la función \( f(x) \) toma cualquier valor o sólo valores enteros.

Saludos.

[Mariomarquez]

Hola, creo que es como dice robinlambda, que no se cuentan los puntos del eje x, ya que lo que escribes tiene sentido; y también encontré este articulo:

http://www.stumblingrobot.com/2015/07/17/formula-for-counting-lattice-points-in-the-ordinate-set-of-a-function/
 

Gracias por contestar, saludos.

[robinlambada]

Hola, creo que es como dice robinlambda, que no se cuentan los puntos del eje x, ya que lo que escribes tiene sentido; y también encontré este articulo:

http://www.stumblingrobot.com/2015/07/17/formula-for-counting-lattice-points-in-the-ordinate-set-of-a-function/
 

Gracias por contestar, saludos.

Si, es lo más lógico, pero debes modificar el enunciado de la pregunta, ya que si no quieres contar los puntos del eje x, entonces debe darse que \( 0<y\leq{}f(x) \)

Pero tu si los incluyes, ya que admites la posibilidad de y=0.

Hola, alguien sabe demostrar lo siguiente:

 Sea\(  f  \)una función no negativa cuyo dominio es el intervalo \( [a,b]  \)donde \( a \) y \( b \) son enteros, \( a<b \). Sea \( S \) el conjunto de puntos \( (x,y) \) que satisfacen \( a\leq{x}\leq{b},0\color{red}\leq{}\color {black}y\leq{f(x)} \).

Saludos.