[ferbad]

Decidir en cada caso si el conjunto \( A \) representa una recta en \( \Bbb R^2 \) o en \( \Bbb R^3 \).

(a)  \( A =\{(x; y) \in{}\Bbb R^2 : x - y = 3\}  \)
(b)  \( A = \{(x; y; z) \in{}\Bbb R^3 : x- 2y = 0; 2y + x - z + 2 = 0\} \)
(c)  \( A = \{(x; y; z) \in{}\Bbb R^3 : x - z = 3\} \)

[feriva]

Decidir en cada caso si el conjunto \( A \) representa una recta en \( \Bbb R^2 \) o en \( \Bbb R^3 \).

(a)  \( A =\{f(x; y) \in{}\Bbb R^2 : x - y = 3\}  \)
(b)  \( A = \{f(x; y; z) \in{}\Bbb R^3 : x- 2y = 0; 2y + x - z + 2 = 0\} \)
(c)  \( A = \{f(x; y; z) \in{}\Bbb R^3 : x - z = 3\} \)

¿De qué color era el caballo blanco de Santiago?

En la única que podrías tener “dificultad” es en la “c”; pero vamos... tampoco. Piensa un poco.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Decidir en cada caso si el conjunto \( A \) representa una recta en \( \Bbb R^2 \) o en \( \Bbb R^3 \).

(a)  \( A =\{(x; y) \in{}\Bbb R^2 : x - y = 3\}  \)
(b)  \( A = \{(x; y; z) \in{}\Bbb R^3 : x- 2y = 0; 2y + x - z + 2 = 0\} \)
(c)  \( A = \{(x; y; z) \in{}\Bbb R^3 : x - z = 3\} \)

¿Qué has intentado?¿qué dudas concretas tienes?

Una recta de \( \Bbb R^2 \) está definida en \( \Bbb R^2 \) por una única ecuación implícita de grado \( 1 \).
Una recta de \( \Bbb R^3 \) está definida en \( \Bbb R^3 \) por DOS ecuaciones implícita de grado \( 1 \) no proporcionales.
Un plano de \( \Bbb R^3 \) está definido en \( \Bbb R^3 \) por una única ecuación implícita de grado \( 1 \).

¿Conclusión?

Saludos.

[ferbad]

Gracias amigos no entendía el concepto.  ¿Quiere decir que la 1 es una recta. la segunda no porque da \( 0=0 \)  y la tercera es un recta?

[ferbad]

¿Y sí existen dos ecuaciones en \( \Bbb R^3 \)  como  \( x+2y=z +1 \), \( 2z=-2 +2x +4y \)  no deben ser proporcionales?

[robinlambada]

Hola
y sí existen dos ecuaciones en R3  como  x+2y=z +1 , 2z=-2 +2x +4y  no deben ser proporcionales

Por favor usa el \( LaTeX \), para mayor claridad en las matemáticas.

Respondiendo a tu pregunta , no porque si son proporcionales (equivalentes) representan el mismo plano. Ten en cuenta que una recta se puede considerar como la intersección de dos planos.

Por ello las ecuaciones implícitas de la recta en \( \mathbb{R^3} \) , la forman un sistema lineal de 2 ecuaciones no proporcionales ( dos planos que se cortan)

Saludos.

[Luis Fuentes]

HOla

Gracias amigos no entendía el concepto.  ¿Quiere decir que la 1 es una recta. la segunda no porque da \( 0=0 \)  y la tercera es un recta?

No entiendo lo que dices de la segunda.

La segunda está definida por dos ecuaciones lineales no proporcionales en \( \Bbb R^3 \).

\( x- 2y = 0 \)
\( 2y + x - z + 2 = 0 \)

Por tanto si definen una recta. No entiendo eso que dices de \( 0=0 \).

La tercera está definida en en \( \Bbb R^3 \) por UNA sola ecuación; según te dije en mi primera respuesta NO es una recta sino un plano.

Saludos.

[jorge_nunez]

Si no me equivoco, una recta esta definida en \( R^n \) si tenes \( n-1 \) ecuaciones independientes (es decir, que ninguna sea una combinación de las otras).
En el caso b), tenes \( R^3 \) con \( 2 \) ecuaciones que no son combinación una de la otra. Por lo tanto, es una recta.

Haciendo cuentas, concluis que la recta es \( a(2,1,4)+(0,0,2) \)