Autor Tema: derivada de función distinta de cero

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18 Septiembre, 2020, 07:57 am
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lex

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Buenas agradecería quien me pueda ayudar, estoy un poco trabado  :banghead:

Sea \( f: U\subset{\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}} \), \( \mathbb{C} \)-Derivable en \( z_{0}\in U \),
 \( f^{\prime}(z_{0})\neq 0 \), existe una vecindad \( z_{0}\in V\subset{U} \) tal que si \( z\in V \) entonces \( f(z)\neq f(z_{0}) \)

18 Septiembre, 2020, 08:38 am
Respuesta #1

geómetracat

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Por reducción al absurdo, supongamos que no es así. Entonces existe una sucesión de puntos \( z_n \) distintos de \( z_0 \) que converge a \( z_0 \) tal que \( f(z_n)=f(z_0) \). Esto implica que \( f'(z_0)=0 \) (¿por qué?  acaba de pensarlo tú), contradicción.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

18 Septiembre, 2020, 10:32 pm
Respuesta #2

lex

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Buenas muchas gracias por tu orientación, voy a escribir la solución y te comento. Tienes algún libro donde tenga ejercicios de este tipo??

23 Septiembre, 2020, 07:22 am
Respuesta #3

lex

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 A ver si lo escribo bien, de verdad estoy de nuevo retomando variable compleja.

Supongamos que \( f(z)=f(z_{0}) \) entonces existe una sucesión de puntos \( z_{n}\neq z_{0} \) que converge a \( z_{0} \) tal que \( f(z_{n})=f(z_{0}) \)

\(
f(z_{n})=f(z_{0})\Rightarrow{f(z_{n})-f(z_{0})=0}\\
\Rightarrow{\frac{f(z_{n})-f(z_{0})}{z_{n}-z_{0}}=0}\quad\text{(ya que } z_{n}\neq z_{0})\\
\Rightarrow{\lim_{z_{n} \to z_{0}}{\frac{f(z_n)-f(z_0)}{z_n-z_0}}=0}\quad\text{(Tomando límites en ambos lados de la igualdad)}\\
\Rightarrow{f^{\prime}(z_0)=0}
 \)

Lo cual es una contradicción ya que por hipótesis \( f^{\prime}(z_0)\neq 0 \), por tanto \( f(z)\neq f(z_{0}) \)

23 Septiembre, 2020, 08:09 am
Respuesta #4

geómetracat

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Sí, está bien.

Aunque ten en cuenta que para poder decir que \( f'(z_0)=0 \) a partir de ahí necesitas suponer de entrada que \( f'(z_0) \) existe (y es distinta de cero, para llegar a una contradicción).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Septiembre, 2020, 03:20 pm
Respuesta #5

lex

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Sí, está bien.

Aunque ten en cuenta que para poder decir que \( f'(z_0)=0 \) a partir de ahí necesitas suponer de entrada que \( f'(z_0) \) existe (y es distinta de cero, para llegar a una contradicción).
Bueno si para suponer de entrada que \( f'(z_0) \) existe, creo me lo garantiza:


Sea \( f: U\subset{\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}} \), \( \mathbb{C} \)-Derivable en \( z_{0}\in U \),
que vendría siendo una hipótesis al igual que sea distinta de cero. ¿Es así?

23 Septiembre, 2020, 04:41 pm
Respuesta #6

geómetracat

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La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Septiembre, 2020, 05:00 pm
Respuesta #7

lex

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