[jangofett]

Si 𝐴 y 𝐵 son dos matrices cuadradas del mismo orden que verifican \( 𝐴\cdot{}𝐵 = 𝐵\cdot{}𝐴 \)

a) Pruebe que \(  \forall{}n\in{}\mathbb{N} \) se verifica: \( 𝐴 \cdot{} 𝐵^𝑛 = 𝐵^𝑛 \cdot{}𝐴 \)

b) Pruebe que  \(  \forall{}n\in{}\mathbb{N} \) se verifica: \( (𝐴 \cdot{} 𝐵)^𝑛 = A^𝑛 \cdot{}𝐵^𝑛 \)

*Corregido por la moderación.

[robinlambada]

Hola jangofett, bienvenido al foro.
Recuerda leer las normas del foro  y el uso obligado de \( LaTeX \) para escribir las matemáticas , te enlazo a este tutorial de Latex

Respecto a tu pregunta.
El apartado a) lo puedes hacer por inducción ( usa también la propiedad asociativa) y el apartado b) utilizas el resultado del apartado a.

Saludos.
P.D.:¿El k que indicas donde aparece?

[jangofett]

Hola robinlambada, gracias por la corrección y perdón por tipear mal el ejercicio. Me equivoqué poniendo la "k".

[delmar]

Hola

Una ayuda, siguiendo las sugerencias de robinlambada es decir probando por inducción :

Para n=1 hay que demostrar \( A\cdot{B^1}=B\cdot{A^1}\Leftrightarrow{A\cdot{B}=B\cdot{A}} \) pero eso es precisamente lo que dice el enunciado, es decir el enunciado demuestra para n=1

Para n+1

\( A\cdot{B^{n+1}}=(A\cdot{B^n})\cdot{B} \)

Suponiendo verdadero el teorema para n se tiene :

\( A\cdot{B^{n+1}}=(A\cdot{B^n})\cdot{B}=(B^n\cdot{A})\cdot{B}=B^n\cdot{(AB)}=B^n\cdot{(B\cdot{A})} \)

Ahora aplicando la propiedad asociativa se llega a ........

¿Que te parece si avanzas con el apartado b?



Saludos