Hola
Hola ¿alguien podria decirme alguna conjetura para \( T^n \)?
Sea \( T = \begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{1}\end{bmatrix} \)
\( T^2 = \begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{2}\\{1}&{1}&{2}\end{bmatrix} \)
\( T^3 = \begin{bmatrix}{1}&{1}&{2}\\{1}&{2}&{3}\\{1}&{2}&{4}\end{bmatrix} \)
Pues francamente no veo que haya una forma demasiado amable para la expresión general de la potencia enésima. Si no me equivoco sería:
\( T^n=\begin{bmatrix}{a_{n-3}}&{a_{n-2}}&{a_{n-1}}\\{a_{n-2}+a_{n-3}}&{a_{n-2}+a_{n-1}}&{a_{n-1}+a_n}\\{a_{n-1}}&{a_n}&{a_{n+1}}\end{bmatrix} \)
donde \( a_n \) es el término general de la sucesión de Tribonacci (que generaliza en cierto modo la de Fibonacci):
\( a_0=0,\quad a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_n \)
En este enlace puedes leer algo sobre ella y tienes alguna expresión explícita (no muy amable) para el término general:
https://brilliant.org/wiki/tribonacci-sequence/Saludos.
