Autor Tema: Projective Special Linear Group

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14 Septiembre, 2020, 02:54 pm
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conchivgr

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Hola.

Trabajando con el Projective Special Linear Group $$PSL(2,\mathbb{C})$$, es decir, el grupo de matrices (transformaciones de Mobius) de la forma

$$M=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}, ad-bc=1$$ (su determinante es 1), entiendo que dos elementos de este grupo son conjugados si y solo si sus trazas al cuadrado son iguales.

Pero al final del capitulo, el libro "se descuelga" con la afirmacion de que, en particular, $$PSL(2,\mathbb{C})$$ contiene todas las trasformaciones de la forma $$z\rightarrow{az+b}, a>0$$ y la transformacion $$z\rightarrow{-\frac{1}{z}}$$.

Me he quedado a cuadros, pensaba que habia entendido todo, pero no, no entiendo de donde sale esa afirmacion.

Besos. :-* :-*

14 Septiembre, 2020, 03:18 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Trabajando con el Projective Special Linear Group $$PSL(2,\mathbb{C})$$, es decir, el grupo de matrices (transformaciones de Mobius) de la forma

$$M=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}, ad-bc=1$$ (su determinante es 1), entiendo que dos elementos de este grupo son conjugados si y solo si sus trazas al cuadrado son iguales.

Sí, pero ten en cuenta que \( PSL(2, \Bbb C) \) no es el grupo de matrices de determinante uno (ese sería \( SL(2, \Bbb C) \)), sino el cociente que se obtiene al identificar cada matriz \( A \) con \( -A \). Si lo piensas en términos de transformaciones de Möbius, ambas matrices corresponden a la misma transformación de Möbius.

Citar
Pero al final del capitulo, el libro "se descuelga" con la afirmacion de que, en particular, $$PSL(2,\mathbb{C})$$ contiene todas las trasformaciones de la forma $$z\rightarrow{az+b}, a>0$$ y la transformacion $$z\rightarrow{-\frac{1}{z}}$$.

En efecto. Fíjate que a la matriz
$$M=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}$$
le corresponde la transformación de Möbius
$$\frac{az+b}{cz+d}$$.

Entonces, a la matriz
$$M=\begin{pmatrix}{0}&{-1}\\{1}&{0}\end{pmatrix}$$
le corresponde \( z \mapsto -\frac{1}{z} \),
y a la matriz
$$M=\begin{pmatrix}{\sqrt{a}}&{\frac{b}{\sqrt{a}}}\\{0}&{\frac{1}{\sqrt{a}}}\end{pmatrix}$$
le corresponde
\( z \mapsto az+b \).
Como ambas matrices tienen determinante uno, definen un elemento de \( PSL(2, \Bbb C) \) cuyas transformaciones de Möbius asociadas son las que te dicen.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

14 Septiembre, 2020, 04:37 pm
Respuesta #2

conchivgr

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Hola, muchisimas gracias, entendido.

Besos.  :-* :-*