Autor Tema: Determinar hiperplano H

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14 Septiembre, 2020, 02:07 am
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Julio_fmat

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En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^5 \) determinar el hiperplano \( H \) tal que \( L_1\subset H \), \( \ell \parallel H \), donde \( L_1: x_1+x_2-x_3-x_4+2=x_2+x_3+x_4-x_5=0 \) y \( \ell \) es la recta de ecuación cartesiana \( \ell: x_1+x_2=x_1+x_4=x_3+x_2=x_1-x_5+1=0. \)
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14 Septiembre, 2020, 10:03 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^5 \) determinar el hiperplano \( H \) tal que \( L_1\subset H \), \( \ell \parallel H \), donde \( L_1: x_1+x_2-x_3-x_4+2=x_2+x_3+x_4-x_5=0 \) y \( \ell \) es la recta de ecuación cartesiana \( \ell: x_1+x_2=x_1+x_4=x_3+x_2=x_1-x_5+1=0. \)

La variedad \( L_1 \) está dada por dos ecuaciones cartesianas, es decir, como intersección de dos hiperplanos.

Cualquier hiperplano que la contenga está en el haz de hiperplanos que generan ambos, es decir, su ecuación es de la forma:

\( \alpha(x_1+x_2-x_3-x_4+2)+\beta(x_2+x_3+x_4-x_5)=0 \)

En esa familia de hiperplanos buscamos el que es paralelo a la recta dada. Para ello hallamos el vector director de la recta, resolviendo el sistema que forma sus ecuaciones en función de un parámetro:

\( x_2=-x_1 \)
\( x_4=-x_1 \)
\( x_3=-x_2=x_1 \)
\( x_5=x_1+1 \)

Es decir las paramétricas de la recta son:

\( x_1=t \)
\( x_2=-t \)
\( x_3=t \)
\( x_4=-t \)
\( x_5=t+1 \)

Por tanto su vector director es \( (1,-1,1,-1,1) \). Imponemos que este verifique la parte vectorial (sin término independiente) del hiperplano:

\( \alpha(1+(-1)-1-(-1))+\beta((-1)+1+(-1)-1)=0,\quad \Leftrightarrow{}\quad \beta=0 \)

Sustituyendo en el haz queda:

\( \alpha(x_1+x_2-x_3-x_4+2)=0 \)

Y dividiendo por \( \alpha \):

\( x_1+x_2-x_3-x_4+2=0 \).

Saludos.