[Julio_fmat]

En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) sean \( r_1: x+z=y=w-2=0 \), \( r_2: x+1=z+w=y-1=0 \), y \( \pi: x+y-w-5=y-z-w+5=0. \) Determinar la recta \( \ell \) que corta las rectas \( r_1,r_2 \) y es paralela al plano \( \pi. \)

Hola, tengo este ejercicio. No entiendo como calcular las parametrizaciones de las rectas, o sea, como calcular los vectores directores, si alguien me puede explicar eso. Gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) sean \( r_1: x+z=y=w-2=0 \), \( r_2: x+1=z+w=y-1=0 \), y \( \pi: x+y-w-5=y-z-w+5=0. \) Determinar la recta \( \ell \) que corta las rectas \( r_1,r_2 \) y es paralela al plano \( \pi. \)

Hola, tengo este ejercicio. No entiendo como calcular las parametrizaciones de las rectas, o sea, como calcular los vectores directores, si alguien me puede explicar eso. Gracias de antemano.

En general si te dan las ecuaciones cartesianas de una variedad, las paramétricas se obtienen resolviendo el sistema poniendo la solución en función de tantos paramétros como la dimensión de la variedad. Si es una recta como tiene dimensión uno, en función de un parámetro.

Por ejemplo en el primer caso tienes el sistema:

\( x+z=0 \)
\( y=0 \)
\( w-2=0 \)

Resolviendo:

\( x=-z,\quad y=0,\quad w=2 \)

Puedes poner todo en función de la variable \( z \) que será nuestro parámetro y así las paramétricas de esa recta quedan:

\( x=-t \)
\( y=0 \)
\( z=t \)
\( w=2 \)

o si quieres en forma vectorial \( (x,y,z,w)=(0,0,0,2)+t(-1,0,1,0) \).

Intenta el resto.

Saludos.

[Julio_fmat]

Gracias el_manco, me queda claro la primera parte, entonces \( r_2: (x,y, z, w)=(-1,1,0,0)+t(0,0,-1,1) \), donde \( t\in \mathbb{R} \). Y que hago despues?

[robinlambada]

Hola.

Gracias el_manco, me queda claro la primera parte, entonces \( r_2: (x,y, z, w)=(-1,1,0,0)+t(0,0,-1,1) \), donde \( t\in \mathbb{R} \). Y que hago despues?

Puedes utilizar el mismo procedimiento que si fuera en \( \mathbb{R}^3 \),

Por ejemplo.

1) Puedes hallar el vector director de la recta genérica que une \(  r_1 \) y \( r_2 \) (operativamente "restando" 2 puntos uno de cada recta) tendrás el vector director en función de 2 parámetros.
2) Utilizamos la condición de ser paralelo al plano, por ello, obtienes 2 vectores directores del plano y junto con el vector de la recta recién calculada, formas una matriz de 3 filas (los 3 vectores) y 4 columnas.
3) Por ser la recta paralela , su vector director es combinación lineal de los vectores del plano, por ello el rango de la matriz debe ser 2, resultando dos determinantes 3x3 iguales a cero, de aquí obtienes el valor de los 2 parámetros y por tanto el vector director de la recta pedida.
4) El resto es fácil.

Saludos.

[Julio_fmat]

Hola.

Gracias el_manco, me queda claro la primera parte, entonces \( r_2: (x,y, z, w)=(-1,1,0,0)+t(0,0,-1,1) \), donde \( t\in \mathbb{R} \). Y que hago despues?

Puedes utilizar el mismo procedimiento que si fuera en \( \mathbb{R}^3 \),

Por ejemplo.

1) Puedes hallar el vector director de la recta genérica que une \(  r_1 \) y \( r_2 \) (operativamente "restando" 2 puntos uno de cada recta) tendrás el vector director en función de 2 parámetros.
2) Utilizamos la condición de ser paralelo al plano, por ello, obtienes 2 vectores directores del plano y junto con el vector de la recta recién calculada, formas una matriz de 3 filas (los 3 vectores) y 4 columnas.
3) Por ser la recta paralela , su vector director es combinación lineal de los vectores del plano, por ello el rango de la matriz debe ser 2, resultando dos determinantes 3x3 iguales a cero, de aquí obtienes el valor de los 2 parámetros y por tanto el vector director de la recta pedida.
4) El resto es fácil.

Saludos.

Gracias robinlambada por la ayuda, pero no entiendo el punto 3) 

Tengo las ecuaciones parametricas de \( r_1,r_2 \) y del plano \( \pi. \) Es decir,

\( r_1: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{2}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{-1}\\{0}\end{pmatrix}\lambda, \hspace{0.8mm} \lambda\in \mathbb{K}
 \)

\( r_2: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{-1}\\{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{-1}\end{pmatrix}\lambda, \hspace{0.8mm}\lambda \in \mathbb{K} \)

\( \pi: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5}\\{0}\\{5}\\{0}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
{-1}&{1}\\
{1}&{0}\\
{1}&{1}\\
{0}&{1}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix} \)

Pero sabemos que \( \ell \parallel \pi \), es decir, \( \text{Dir}(\ell)\subseteq \text{Dir}(\pi) \). Luego, \( \ell \) es combinacion lineal de los vectores directores del plano \( \pi \)??

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo las ecuaciones paramétricas de \( r_1,r_2 \) y del plano \( \pi. \) Es decir,

\( r_1: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{2}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{-1}\\{0}\end{pmatrix}\lambda, \hspace{0.8mm} \lambda\in \mathbb{K}
 \)

\( r_2: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{-1}\\{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{-1}\end{pmatrix}\lambda, \hspace{0.8mm}\lambda \in \mathbb{K} \)

\( \pi: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5}\\{0}\\{5}\\{0}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
{-1}&{1}\\
{1}&{0}\\
{1}&{1}\\
{0}&{1}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix} \)

Pero sabemos que \( \ell \parallel \pi \), es decir, \( \text{Dir}(\ell)\subseteq \text{Dir}(\pi) \). Luego, \( \ell \) es combinacion lineal de los vectores directores del plano \( \pi \)??

Un punto de la primera recta es de la forma \( (t,0,-t,2) \); un punto de la segunda de la forma \( (-1,1,s,-s) \). El vector que une ambos:

\( (t,0,-t,2)-(-1,1,s,-s)=(t+1,-1,-t-s,2+s) \)

Tal vector debe de ser combinación lineal de los vectores del plano, para que la recta que une ambos puntos sea paralela a él. Eso equivale a que el rango de la matriz:

\( \begin{pmatrix}{1}&{0}&{1}&{1}\\{-1}&{1}&{1}&{0}\\{t+1}&{-1}&{-t-s}&{2+s}\end{pmatrix} \)

Sea dos. Si escalonas te queda:

\( \begin{pmatrix}{1}&{0}&{1}&{1}\\{0}&{1}&{2}&{1}\\{0}&{0}&{-2t-s-1}&{1+s-t}\end{pmatrix} \)

Para que el rango sea dos la última fila debe de ser nula. Concluye.

Saludos.