[dario_oasis]

Hola buenas tardes, le hago una pregunta espero q me puedan ayudar,
Tengo 2 puntos,
\( <(1,0,-3),(2,1,-1)> \) como hago para hallar la ecuación \( 2x-5y-z=0 \) ?

[sugata]

Falta algo.
Por dos puntos pasa una recta e infinitos planos que la comparten.

[sugata]

Aunque por la notación, podrían ser vectores, no puntos.
Cuando ponemos \( <v_1,v_2> \)
Hablamos del conjunto generado por esos vectores multiplicados por un escalar. En ese caso, si tenemos un plano.

[dario_oasis]

Y como me quedaría esos vectores para que me de 2x-5y-z=0?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola buenas tardes, le hago una pregunta espero q me puedan ayudar,
Tengo 2 puntos,
\( <(1,0,-3),(2,1,-1)> \) como hago para hallar la ecuación \( 2x-5y-z=0 \) ?

Vaya por delante que la ecuación que das no corresponde con esos generadores; hay una errata en algún sitio (o en los generadores o en la ecuación).

El plano generado por \( (1,0,-3),(2,1,-1) \) es el formado por todos los vectores combinación lineal de ellos:

\( (x,y,z)=t(1,0,-3)+s(2,1,-1) \)

Separando coordenadas:

\( x=t+2s \)
\( y=s \)
\( z=-3t-s \)

Para obtener la ecuación cartesiana o implícita puedes eliminar parámetros. Despejas un parámetro en una ecuación y sustituyes en el resto.

\( s=t \)

\( x=t+2y \)
\( z=-3t-y \)

Se repite el proceso hasta que no queden parámetros.

\( t=x-2y \)

\( z=-3(x-2y)-y \)

Simplificando:

\( 3x-5y+z=0 \)

Otra forma de llegar a lo mismo es tener en cuenta que en el espacio cuando un vector es combinación lineal de otros dos, el determinante que forman los tres es nulo. Por tanto directamente la ecuación implícita se obtiene simplificando:

\( det\begin{bmatrix}{x}&{y}&{z}\\{1}&{0}&{-3}\\{2}&{1}&{-1}\end{bmatrix}=0 \)

Saludos.