Autor Tema: Uso del Teorema de Sierpinski

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

11 Septiembre, 2020, 11:03 pm
Leído 75 veces

Gray

  • Junior
  • Mensajes: 53
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, me he encontrado con este problema, pero no tengo ni idea de cómo se demuestra, ¿alguna idea?

Teorema de Sierpinski
Todo espacio métrico numerable sin puntos aislados es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

a) Todo subespacio denso y numerable de \( (\mathbb{R}, τ_u) \) es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

b) Dotados de la topología usual, probar que son homeomorfos \( \mathbb{Q}  \) y \( \mathbb{Q^2}  \)

11 Septiembre, 2020, 11:36 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,010
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola, me he encontrado con este problema, pero no tengo ni idea de cómo se demuestra, ¿alguna idea?

Teorema de Sierpinski
Todo espacio métrico numerable sin puntos aislados es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

Pues la obligación de usar el Teorema de Sierpinski marca el camino.

Citar
a) Todo subespacio denso y numerable de \( (\mathbb{R}, \tau_u) \) es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

Muestra que todo subespacio denso numerable de \( (\mathbb{R}, \tau_u) \) es un espacio métrico sin puntos aislados y aplica el Teorema.

Citar
b) Dotados de la topología usual, probar que son homeomorfos \( \mathbb{Q}  \) y \( \mathbb{Q^2}  \)

Muestra que  \( \mathbb{Q^2}  \) es un espacio métrico numerable y sin puntos aislados y aplica el Teorema.

Saludos.

12 Septiembre, 2020, 10:54 pm
Respuesta #2

Gray

  • Junior
  • Mensajes: 53
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Supongamos que \( {a} = O∩A \) para algún conjunto abierto \( O∈τ_u \) y \( a∈A \), pero entonces \( A \) no interseca con el abierto \( O ∖ {a} \).

¿Se debería de usar que \( τ_u \) es \( T_1 \)? y ¿cómo se haría?

Hola

Hola, me he encontrado con este problema, pero no tengo ni idea de cómo se demuestra, ¿alguna idea?

Teorema de Sierpinski
Todo espacio métrico numerable sin puntos aislados es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

Pues la obligación de usar el Teorema de Sierpinski marca el camino.

Citar
a) Todo subespacio denso y numerable de \( (\mathbb{R}, \tau_u) \) es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

Muestra que todo subespacio denso numerable de \( (\mathbb{R}, \tau_u) \) es un espacio métrico sin puntos aislados y aplica el Teorema.

Citar
b) Dotados de la topología usual, probar que son homeomorfos \( \mathbb{Q}  \) y \( \mathbb{Q^2}  \)

Muestra que  \( \mathbb{Q^2}  \) es un espacio métrico numerable y sin puntos aislados y aplica el Teorema.

Saludos.

12 Septiembre, 2020, 11:52 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,010
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Supongamos que \( \{a\}= O\cap A \) para algún conjunto abierto \( O\in \tau_u \) y \( a\in A \), pero entonces \( A \) no interseca con el abierto \( O ∖ {a} \).

Entiendo que \( A \) es el subespacio denso numerable de \( \Bbb R \).

Si tuviese un punto aislado \( a \) existiría un abierto usual \( O \) tal que \( \{a\}=O\cap A \). Pero entonces como dices  \( A \) no interseca con el abierto \( O ∖ {a} \) y eso contradice que sea denso.

Saludos.

P.D. IMPORTANTE. Usa LaTeX para los símbolos matemáticos y no caracteres especiales que podrían no verse bien según la configuración del navegador.

Por ejemplo no pongas:

[tex]O∈τ_u[/tex]

sino:

[tex]O\in \tau_u[/tex]