Buenas. Leyendo sobre la regla del L'Hopital en la wiki aparece este ejemplo:
* Tipo \( \infty - \infty \)
\( \lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x^2 - x} =
\)
\( = \lim_{x \to \infty} \cfrac{\left(x + \sqrt{x^2 - x}\right)\left(x - \sqrt{x^2 - x}\right)}{x + \sqrt{x^2 - x}}
= \lim_{x \to \infty} \cfrac{x^2 - (x^2 - x)}{x + \sqrt{x^2 - x}}
= \lim_{x \to \infty} \cfrac{x}{x + \sqrt{x^2 - x}} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \cfrac{ \overbrace{x}^{\infty} } { \underbrace{x + \sqrt{x^2 - x}}_{\infty} }
= \cfrac{\infty}{\infty} \)
\( \lim_{x \to \infty} \cfrac{x}{x + \sqrt{x^2 - x}}
\quad \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad
\lim_{x \to \infty} \cfrac{(x)'}{(x + \sqrt{x^2 - x})'} = \)
\( = \lim_{x \to \infty} \cfrac{1}{1 + \cfrac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x}}}
= \cfrac{1}{1 + 1}
= \cfrac{1}{2} \)
Lo entiendo más o menos todo (creo) pero el paso del final, de:
\( \cfrac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x}} \)
a \( 1 \) me dejó un buen rato pensando. Supongo que se aplica directamente el límite a esa parte, pero no me parece tan obvio (así a simple vista) como para poner directamente el resultado así sin más.
Hay alguna forma de resolver ese tipo de límites así tan rápido? (sin hacer cuentas o malabares algebraicos XD).. Aclaro que estoy intentando aprender matemáticas por mi cuenta, así que es muy probable que me haya saltado partes más básicas (bueno, casi seguro, ya que no haría esta pregunta si no XD)
Salu2
