Autor Tema: Duda sobre sumatorias

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31 Agosto, 2020, 02:59 pm
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Pie

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Buenas, seguramente sea algo muy básico o tonto así que lo pongo por aquí (tampoco tengo muy claro en qué sección encajaría mi duda XD).

Leyendo sobre la constante de Euler-Mascheroni aparece esta expresión:

\[ \displaystyle \gamma = \lim_{n \to\infty}\left[\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - ln(n)\right] \]

Luego iguala también a una integral, pero es la parte de la sumatoria lo que me genera dudas. Si le doy a n un valor concreto y lo pongo tal cuál en el Wolfram (sin el límite), me va restando el logaritmo de n por cada suma de 1/k, con lo que acaba dando un número negativo claro.

Mi duda es, cómo se interpretaria la parte de la sumatoria (sin el límite) y el logaritmo para un valor concreto de n? como hace el Wolfram o cómo se hace al tener en cuenta el límite (sacando el logaritmo de la sumatoria, y restandolo sólo una vez entiendo, ya que si no daría un valor negativo y no la constante de Euler-Mascheroni)..

Lo pregunto más que nada porque ahora mismo no sabría como expresar esa operación sin tener en cuenta límites y demás, de hecho, soy incapaz de hacer que el Wolfram reste el logaritmo sólo una vez, para valores concretos de n..

Salu2
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

31 Agosto, 2020, 03:05 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola

¿Podrías adjuntar el enlace a tu input de WA, por favor? Porque no debería estarlo en cada alteración pues no depende del índice \( k \), es independiente de la sumatoria pero no del límite. Aunque sabemos que a veces WA no se comporta como uno esperaría.

Quizás funcione bien si limitas el alcance del sumatorio poniendo paréntesis a \( 1/k \), o viene usar la propiedad conmutativa de la suma para traer el logaritmo delante del sumatorio. Intenta todo esto a ver si te deja

¿Quedó claro que el logaritmo no depende del sumatorio pero sí del limite?

Saludos

31 Agosto, 2020, 03:33 pm
Respuesta #2

Pie

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Gracias manooooh, con poner delante el logaritmo era suficiente (ya me vale no haberlo pensado XD). Aunque sigo con la duda de cómo se interpretaria la parte de la sumatoria y el logaritmo sin el límite (para un valor concreto de n), si no hay signos de separación, etc.. se entiende que todo entra dentro de la sumatoria?

Salu2
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31 Agosto, 2020, 03:45 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Gracias manooooh, con poner delante el logaritmo era suficiente (ya me vale no haberlo pensado XD). Aunque sigo con la duda de cómo se interpretaria la parte de la sumatoria y el logaritmo sin el límite (para un valor concreto de n), si no hay signos de separación, etc.. se entiende que todo entra dentro de la sumatoria?

Salu2

No, al contrario, se entiende que \( \log n \) queda fuera de la sumatoria, lo mismo que con expresiones del tipo

\( \displaystyle{
\int_{0}^x f(t)\mathop{}\!d t+g(x)
} \)

Arriba se entiende que \( g(x) \) queda fuera de la integral. Si se quiere decir que está dentro se debería escribir

\( \displaystyle{
\int_{0}^x(f(t)+g(x))\mathop{}\!d t
} \)

Es decir: hay que usar paréntesis. Lo mismo con lo que se suma en una sumatoria. El código de Wolfram sin el límite sería

Código: [Seleccionar]
s[n_]:=Sum[1/k,{k,1,n}]-Log[n]
o equivalentemente

Código: [Seleccionar]
s[n_]:=HarmonicNumber[n]-Log[n]
ya que en matemáticas los números armónicos se definen como \( H_n:= \sum_{k=1}^n\frac1{k} \).

31 Agosto, 2020, 04:05 pm
Respuesta #4

Pie

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Ok, gracias Masacroso. Me queda claro pues. Yo es que lo ponía todo junto como en la fórmula (el - ln(n) antes de la coma), así que no había forma de aproximarse a la constante así XD

Saludos.
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