[manooooh]

Hola!

Sea \( R \) una relación de equivalencia definida en \( \Bbb{N}^2 \) tal que \[(x,y)R(w,z)\iff2(x-w)=z-y.\] Hallar clases de equivalencia y conjunto cociente.


En primer lugar encontré que \( 2(x-w)=z-y \) es equivalente a \( 2x+y=2w+z \). Ahora procedo a buscar algunas clases particulares:

\( \boxed{[(1,1)]}=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=2\}=\{(1,1)\}. \)

\( \boxed{[(1,2)]}=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=3\}=\{(1,2)\}. \)

\( \boxed{[(1,3)]}=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=4\}=\{(1,3),(2,1)\}. \)

\( [(3,5)]=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=11\}=\{(1,9),(2,7),(3,5),(4,3),(5,1)\}=\boxed{[(1,9)]}. \)

\( [(2,8)]=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=12\}=\{(1,10),(2,8),(3,6),(4,4),(5,2)\}=\boxed{[(1,10)]}. \)

\( [(6,3)]=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=15\}=\{(1,13),(2,11),(3,9),(4,7),(5,5),(6,3),(7,1)\}=\boxed{[(1,13)]}. \)

De esta forma, puedo decir que

\( \boxed{[(a,b)]=\{(x,y)\in\Bbb{N}^2\mid2x+y=2a+b\}} \)

y por lo tanto

\( \boxed{\Bbb{N}^2/R=\{[(a,b)]\mid a=1,\;b\in\Bbb{N}\}}. \)

¿Está bien?

¿Cómo se interpretaría geométricamente? ¿Sería una familia de rectas de pendiente \( -2 \) donde tomamos como representantes a las que tienen primera componente \( x=1 \) y segunda componente un número natural?

Gracias!!
Saludos

P.D. Por otro lado, quizás suene un disparate pero creo que podríamos definir una función \( f\colon\Bbb{N}^2\to\Bbb{N}\mid f(x,y)=x+y \), pero no sé para qué nos serviría.

[geómetracat]

Por lo que pones entiendo que consideras los naturales sin el \( 0 \). En ese caso, está esencialmente bien.
Solo que la descripción como conjunto de las tres primeras clases que has puesto remarcadas con un rectángulo están mal. Por ejemplo, en la primera debería ser \( 2x+{\color{red} y}=3 \) y no \( 2x+{\color{red} y}=2 \).

Por lo demás yo lo veo bien. Y la interpretación geométrica es justo la que dices: puedes ver cada clase de equivalencia como el conjunto de puntos con coordenadas naturales sobre una recta de pendiente \( -2 \), y si haces la intersección de estas rectas con \( x=1 \) obtienes un representante de cada clase.

Lo único que no has puesto y estaría bien sería demostrat en general que siempre hay un representante de la forma \( (1,y) \). Por ejemplo, diciendo que \( (a,b) R (1,b+2a-2) \).

Sobre el PD esa función no sirve para nada. En todo caso serviría \( f(x,y)=2x+y \), que es la función cuyas curvas de nivel (que aquí son rectas) coinciden con las clases de equivalencia.

Corregido.

[manooooh]

Hola geómetracat,  muchas gracias por tu clara exposición!! ¿No te gustaría ser mi tutor a distancia?

(...) Por ejemplo, en la primera debería ser \( 2x+1=3 \) y no \( 2x+1=2 \).

Entiendo, aunque qué mal porque creo que no has atinado: debería ser \( 2x+y=3 \).

Lo único que no has puesto y estaría bien sería demostrat en general que siempre hay un representante de la forma \( (1,y) \). Por ejemplo, diciendo que \( (a,b) R (1,b+2a-2) \).

Interesante. En alguna otra ocasión también me lo has sugerido. Sin embargo, en las explicaciones del profesor nunca he visto que demuestre tal existencia:

¿Es realmente necesario? ¿No es obvio?

Sobre el PD esa función no sirve para nada. En todo caso serviría \( f(x,y)=2x+y \), que es la función cuyas curvas de nivel (que aquí son rectas) coinciden con las clases de equivalencia.

Yo pensé que podíamos decir \( x\mapsto2x \) y ya. Es como si tuviera \( -3x+1+(-y)=-3a+1-b \). También podría decir \( f(x,y)=x+y \) porque bien puedo reemplazar a \( x \) por \( -3x+1 \) e \( y \) por \( -y \), ya que "tiene la misma forma" en ambos lados de la igualdad. ¿O no se puede obviar?

Sin embargo soy consciente de que sería "generalizar" sin sentido (entre comillas porque entiendo que lo que hice en el primer mensaje está mal). Así que tu elección de la función la entiendo perfectamente.

Entonces, ¿para qué nos serviría tal \( f \)? Coinciden con las clases de equivalencia, sí, ¿y qué más?

Saludos

[geómetracat]

Hola geómetracat,  muchas gracias por tu clara exposición!! ¿No te gustaría ser mi tutor a distancia?

Bueno, en cierta manera ya lo soy, ¿no? 

Entiendo, aunque qué mal porque creo que no has atinado: debería ser \( 2x+y=3 \).

Pues sí, me has pillado.

Interesante. En alguna otra ocasión también me lo has sugerido. Sin embargo, en las explicaciones del profesor nunca he visto que demuestre tal existencia:

¿Es realmente necesario? ¿No es obvio?

Pues como todo, depende del grado de detalle que quieras dar. Es bastante obvio sí, pero es necesario si quieres una demostración completa de que en toda clase puedes tomar un representante con \( x=1 \).

Yo pensé que podíamos decir \( x\mapsto2x \) y ya. Es como si tuviera \( -3x+1+(-y)=-3a+1-b \). También podría decir \( f(x,y)=x+y \) porque bien puedo reemplazar a \( x \) por \( -3x+1 \) e \( y \) por \( -y \), ya que "tiene la misma forma" en ambos lados de la igualdad. ¿O no se puede obviar?

Sin embargo soy consciente de que sería "generalizar" sin sentido (entre comillas porque entiendo que lo que hice en el primer mensaje está mal). Así que tu elección de la función la entiendo perfectamente.

No entiendo lo que dices aquí, la verdad.

Entonces, ¿para qué nos serviría tal \( f \)? Coinciden con las clases de equivalencia, sí, ¿y qué más?

Bueno, te dice que hay una biyección entre el conjunto cociente y la imagen de \( f \). Y para cada \( x \in Im(f) \) tienes que \( f^{-1}(x) \) es una clase de equivalencia. Es decir, la aplicación \( \tilde{f}: \Bbb N^2 \to Im(f) \) es, en cierto sentido, "isomorfa" a la aplicación cociente \( \pi: \Bbb N^2 \to \Bbb N^2/R  \).