[manooooh]

Hola!

En los reales se define la siguiente relación: \( xRy\iff\sin(x)=\sin(y) \). Indicar si produce infinitas clases con infinitos elementos, o infinitas clases con cantidad finita de elementos, o cantidad finita de clases con infinitos elementos.


En primer lugar es claro que \( R \) es de equivalencia.

Para hallar las clases de equivalencia, lo que noté fue que ambas funciones son periódicas y su dominio es todo \( \Bbb{R} \), y para elegir un representante de cada clase hay que buscar la intersección de \( \sin(x)=\sin(y) \). Por ese motivo, lo que elegiría yo sería: Produce infinitas clases con cantidad finita de elementos (elementos entendidos como las abscisas de los puntos de corte).

Sin embargo, tengo entendido que la respuesta es que produce infinitas clases con infinita cantidad de elementos cada clase.

¿Qué dicen ustedes?

Gracias!!
Saludos

[geómetracat]

Hay infinitas clases con infinitos elementos cada clase.
No entiendo muy bien qué te lleva a pensar que hay un número finito de elementos en cada clase.

Para ver que hay un número infinito, fíjate que \( \sin(x)=\sin(x+2\pi) = \sin(x+4\pi) = \dots \). Por tanto los infinitos números \( \{\sin(x+2\pi k \mid k \in \Bbb Z \} \) pertenecen a la misma clase de equivalencia (la clase de \( x \)).

Para ver que hay infinitas clases, fíjate que si \( x,y \in [0,\pi/2] \) y \( x \neq y \) entonces \( \sin(x)\neq \sin(y) \). Por tanto las clases de equivalencia de los distintos \( x \in [0,\pi/2] \) son todas distintas.

[manooooh]

Hola, muchas gracias!!

No entiendo muy bien qué te lleva a pensar que hay un número finito de elementos en cada clase.

Me hacía pensar porque la intersección de ambas funciones ocurre como máximo 1 vez en cada periodo, y como es periódica, eran infinitas clases. Por eso pensaba que hay infinitas clases (infinitas intersecciones) con 1 elemento cada clase (1 intersección en cada periodo). Pero no tiene nada que ver, ¿no? Porque una cosa es la gráfica de la función \( y=\sin(x_1),\sin(x_2) \), y otra cosa es la gráfica de la relación \( R \).

Para ver que hay un número infinito, fíjate que \( \sin(x)=\sin(x+2\pi) = \sin(x+4\pi) = \dots \). Por tanto los infinitos números \( \{\sin(x+2\pi k \mid k \in \Bbb Z \} \) pertenecen a la misma clase de equivalencia (la clase de \( x \)).

Para ver que hay infinitas clases, fíjate que si \( x,y \in [0,\pi/2] \) y \( x \neq y \) entonces \( \sin(x)\neq \sin(y) \). Por tanto las clases de equivalencia de los distintos \( x \in [0,\pi/2] \) son todas distintas.

Perfecto. Gracias.

Saludos