Autor Tema: Extremos de \(f(x,y)=xy^2-2y^2-2x\) sobre \(A=\{(x,y)|y^2\leq x+4,x\leq0\}\)

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23 Agosto, 2020, 02:24 am
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mgranadosgg

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Hola y gracias de antemano.

Quisiera ayuda con este ejercicio.

ENUNCIADO
--------------
Hallar los valores máximo y mínimo de la función \( f(x,y)=xy^2-2y^2-2x \) sobre el conjunto \( A=\left\{{(x,y)\in{R^2} / y^2\leq{x+4}, x\leq{0}}\right\} \)

Solución
----------

Como la función es continua y la región es cerrada y acotada, existe al menos un punto en \( A \) en el que la función alcanza su valor máximo, y existe al menos un punto en \( A \) en el que la función alcanza su valor mínimo.

paso 1: calcular puntos críticos de la función en \( A \).
paso 2: estudiar la función restringida a la frontera de \( A \).
paso 3: evaluar la función en todos los puntos obtenidos y comparar sus valores.

paso 1
-------
\( f_x=y^2-2=0 \)
\( f_y=2xy+4y=0 \)

De donde, \( y=\pm{\sqrt[ ]{2}}, x=-2 \)

Entonces es: \( P_1(-2,\sqrt[ ]{2}) \),  \( P_2(-2,-\sqrt[ ]{2}) \)


paso 2
-------
\( A_1=\left\{{(x,y)\in{R^2} / y^2=x+4, y\in{[-2,2]}}\right\} \)
\( A_2=\left\{{(x,y)\in{R^2} / x=0, y\in{[-2,2]}}\right\} \)

Restricción de \( f(x,y) \) a \( A_1 \):

\( f(A_1)=x(x+4)-2(x+4)-2x=x^2-8 \)
\( f'(x)=2x=0 ->x=0 \)
                            \( y^2=x+4 ->y=\pm{\sqrt[ ]{x+4}}=\pm{2} \)

Entonces es: \( P_3(0,2) \),  \( P_4(0,-2) \)


Restricción de \( f(x,y) \) a \( A_2 \):

\( f(A_2)=0.y^2-2.y^2-2.0=-2y^2=-2y^2 \)
\( f'(y)=-4y=0 -> y=0 \)

Entonces \( P_5(0,0) \)

paso 3
-------

\( f(P_1)=f(-2,-\sqrt[ ]{2})=-4 \)
\( f(P_2)=f(-2,\sqrt[ ]{2})=-4 \)
\( f(P_3)=f(0,2)=-8 \)
\( f(P_4)=f(0,-2)=-8 \)
\( f(P_5)=f(0,0)=0 \)

23 Agosto, 2020, 02:57 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Quisiera ayuda con este ejercicio.

¿En qué parte necesitas ayuda? Sé más específico.

No revisé todo el desarrollo pero aquí:

\( f_y=2xy+4y=0 \)

Debería ser \( f_y=2xy\color{red}-\color{black}4y=0 \).

Saludos

Mods
Título cambiado de "EXTREMOS ABSOLUTOS DE FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES" a "Extremos de \(f(x,y)=xy^2-2y^2-2x\) sobre \(A=\{(x,y)|y^2\leq x+4,x\leq0\}\)".
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23 Agosto, 2020, 12:12 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

Hola y gracias de antemano.

Quisiera ayuda con este ejercicio.

ENUNCIADO
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Hallar los valores máximo y mínimo de la función \( f(x,y)=xy^2-2y^2-2x \) sobre el conjunto \( A=\left\{{(x,y)\in{R^2} / y^2\leq{x+4}, x\leq{0}}\right\} \)

Solución
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Como la función es continua y la región es cerrada y acotada, existe al menos un punto en \( A \) en el que la función alcanza su valor máximo, y existe al menos un punto en \( A \) en el que la función alcanza su valor mínimo.

paso 1: calcular puntos críticos de la función en \( A \).
paso 2: estudiar la función restringida a la frontera de \( A \).
paso 3: evaluar la función en todos los puntos obtenidos y comparar sus valores.

paso 1
-------
\( f_x=y^2-2=0 \)
\( f_y=2xy+4y=0 \)

De donde, \( y=\pm{\sqrt[ ]{2}}, x=-2 \)

Entonces es: \( P_1(-2,\sqrt[ ]{2}) \),  \( P_2(-2,-\sqrt[ ]{2}) \)


paso 2
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\( A_1=\left\{{(x,y)\in{R^2} / y^2=x+4, y\in{[-2,2]}}\right\} \)
\( A_2=\left\{{(x,y)\in{R^2} / x=0, y\in{[-2,2]}}\right\} \)

Restricción de \( f(x,y) \) a \( A_1 \):

\( f(A_1)=x(x+4)-2(x+4)-2x=x^2-8 \)
\( f'(x)=2x=0 ->x=0 \)
                            \( y^2=x+4 ->y=\pm{\sqrt[ ]{x+4}}=\pm{2} \)

Entonces es: \( P_3(0,2) \),  \( P_4(0,-2) \)


Restricción de \( f(x,y) \) a \( A_2 \):

\( f(A_2)=0.y^2-2.y^2-2.0=-2y^2=-2y^2 \)
\( f'(y)=-4y=0 -> y=0 \)

Entonces \( P_5(0,0) \)

paso 3
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\( f(P_1)=f(-2,-\sqrt[ ]{2})=-4 \)
\( f(P_2)=f(-2,\sqrt[ ]{2})=-4 \)
\( f(P_3)=f(0,2)=-8 \)
\( f(P_4)=f(0,-2)=-8 \)
\( f(P_5)=f(0,0)=0 \)

Diría que la idea está bien pero tienes alguna errata. A parte de la que te ha indicado manooooh tienes que la restricción de \( f(x, y)  \) sobre \( A_1 \) es \( f(x) =x^2+2x-8 \)

A pesar de esta última errata puede seguir habiendo extremos absolutos en los puntos angulosos de la región, es decir, en \( (0, \pm{2}) \), lo que debes incluir dos nuevos candidatos.

Un saludo.