El procedimiento es el siguiente para cualquier n se divide en tres grupos las piezas hay tres casos posibles , tres grupos de igual cantidad de piezas, y dos grupos de igual cantidad y el tercero uno con una mas o bien con una de menos.
Se pesan los grupos de igual cantidad, si hay igualdad , la mala esta en el tercer grupo...
Si no la hay, el tercer grupo tiene solo buenas, (para saber si pesa mas o menos, se intercambia una del tercer grupo por cualquiera del primero o del segundo y en función del resultado de la pesadas previa y la intercambiada, se puede saber si pesa mas o de menos) es una análisis lógico de casos posibles, es decir averiguar si es mas o menos pesada que el resto lleva una única pesada extra.
Spoiler
sean a,b y c los grupos
si a>b y se intercambia una de a por una de c si la pesada resulta a'>b la pieza esta en b y pesa menos
si a>b y se intercambia una de a por una de c si la pesada resulta a'=b la pieza extraida de a es la defectuosa y pesa mas
si a>b y se intercambia una de b por una de c si la pesada resulta a>b' la pieza esta en a y pesa mas
si a>b y se intercambia una de b por una de c si la pesada resulta a=b' la pieza extraida de b es la defectuosa y pesa menos
si a<b y se intercambia una de a por una de c si la pesada resulta a'>b la pieza esta en b y pesa mas
si a<b y se intercambia una de a por una de c si la pesada resulta a'=b la pieza extraida de a es la defectuosa y pesa menos
si a<b y se intercambia una de b por una de c si la pesada resulta a>b' la pieza esta en a y pesa menos
si a<b y se intercambia una de b por una de c si la pesada resulta a=b' la pieza extraída de b es la defectuosa y pesa mas
si a=b=c se compara c con a y si la pesada resulta a>c la pieza esta en c y pesa menos
si a=b=c se compara c con a y si la pesada resulta a<c la pieza esta en c y pesa mas
si a=b se iguala el numero de piezas de c en un platillo con piezas de a y b ( se pone una de mas o se quita una, todas son buenas) , se compara con c y si la pesada resulta (ab)'>c la pieza esta en c y pesa menos
si a=b se iguala el numero de piezas de c en un platillo con piezas de a y b ( se pone una de mas o se quita una, todas son buenas) , se compara con c y si la pesada resulta (ab)'<c la pieza esta en c y pesa mas
se reitera el procedimiento con el grupo donde esta la pieza defectuosa, pusto que ya hemos descubierto si pesa mas o menos y en que grupo está.
El caso mas desfavorable en el que si aumenta una unidad n se necesita si o si un número de pesadas adicional, esto sucede cuanto en todas nuestras particiones en tres grupos la pieza se ubique en el grupo c y siempre con una piezas extra respecto de a y b ,es decir cuando sucede \( n=x^3+1 \) siendo \( x \) el número de pesadas necesarias al que se le agrega una mas para también dilucidar si pesa mas o de menos,
Por otro lado el numero mínimo de pesadas para identificarla con seguridad es siempre 2 teniendo la máxima suerte de intercambiarla en la segunda pesada dejándola separada del grupo la que se extrae de la primer pesada.
En definitiva el numero de pesadas máximo necesario para dilucidar cual pieza se trata y si pesa mas o menos \( x=entero(\sqrt[3]{n-1})+2 \)
ej para 28 si siempre esta en c tres grupos 9,9,10 pesada 1 nos quedan 10
pesada 2 determinamos si es mas o menos pesada pero no la identificamos
reiteramos con 3,3,4 en pesada 3 nos quedan 4
nuevamente en 1,1,2 en pesada 4 nos quedan 2
y con la pesada 5 de 1y1 sabremos cual es .
Saludos
