Autor Tema: Demostración de conjuntos

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20 Agosto, 2020, 03:51 am
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UNKNOW

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Buenas noches¡¡
Me podéis ayudar con estas demostraciones por favor:

\((A\cup{C})\times (B\cup{D})=(A\times B)\cup{(A\times D)}\cup{(C\times B)}\cup{(C\times D)}\)

\((A\times B)^c=(A^c \times B)\cup{(A\times B^c)}\)

De antemano gracias.

Saludos¡

04 Marzo, 2021, 04:47 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Me podéis ayudar con estas demostraciones por favor:

\((A\cup{C})\times (B\cup{D})=(A\times B)\cup{(A\times D)}\cup{(C\times B)}\cup{(C\times D)}\)

\((A\times B)^c=(A^c \times B)\cup{(A\times B^c)}\)

¿Qué has intentado? Si no nos dices será más difícil entender para ti.

Para el primero debes demostrar una doble inclusión, empiezo la primera, recordando que al ser producto cartesiano hay que tomar un par ordenado cualquiera:
\begin{align*}
\forall(x,y)\colon(x,y)\in(A\cup C)\times(B\cup D)&\to x\in A\cup C\land y\in B\cup D\\
&\to(x\in A\lor x\in C)\land(y\in B\lor y\in D)\\
&\to(x\in A\land y\in B)\lor(x\in A\land y\in D)\lor(x\in C\land y\in B)\lor(x\in C\land y\in D)
\end{align*}
Termina y fíjate si puedes aplicar el camino inverso para conseguir la igualdad.

El segundo es falso, basta que consideres \( \mathcal{U}=\{1,2,3\} \), \( A=\{1,2\} \) y \( B=\{2,3\} \).

Saludos

Mods
Creo que el hilo se ajustaría mejor si estuviera en el subforo Teoría de conjuntos.
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