Autor Tema: Demostración coordenadas menor área

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16 Agosto, 2020, 10:04 pm
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cristianoceli

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Hola tengo dudas con esta demostración necesito ayuda para poder encarararla no se me ocurre como empezar

Definimos un triangulo "almost-equilateral"  de error \( e>0 \)si el valor absoluto de la diferencia entre cada uno de sus ángulos y 60° es menor que e.
Demuestre que para cada \( e>0 \) existen triángulos "almost-equilateral" de error \( e  \)cuyos vértices tienen coordenadas enteras en el plano cartesiano. Además determine el de menor área

Saludos

18 Agosto, 2020, 08:47 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola tengo dudas con esta demostración necesito ayuda para poder encarararla no se me ocurre como empezar

Definimos un triangulo "almost-equilateral"  de error \( e>0 \)si el valor absoluto de la diferencia entre cada uno de sus ángulos y 60° es menor que e.
Demuestre que para cada \( e>0 \) existen triángulos "almost-equilateral" de error \( e  \)cuyos vértices tienen coordenadas enteras en el plano cartesiano.

La existencia es fácil. Nota que si tomamos un triángulo con vértices \( A=(0,0),B=(2a,0) \) y \( C=(a,a\sqrt{3}) \) es equilátero de lado \( 2a \). El problema es que sus vértices no son enteros (en concreto si \( a \) es entero no lo es la ordenada de \( C \)). Pero si tomas por ejemplo \( a_n=10^n \) y \( A_n=(0,0),B_n=(2a_n,0) \) y \( C=(a_n,[a_n\sqrt{3}]) \) siendo \( [x]= \)parte entera de \( x \), comprueba que los ángulos del triángulo \( A_nB_nC_n \) se acercan tanto como queramos a \( 60^o \) a medida que \( n\to \infty \) y por tanto tenemos un triángulo "almost-equilateral" para cualquier \( e>0  \)con vértices de coordenadas enteras.

Citar
Además determine el de menor área

Esto lo veo bastante más delicado. Entiendo que hay que calcular el de menor área en función de \( e \), es decir para cada valor de \( e>0 \). ¿Es así?.

Saludos.

19 Agosto, 2020, 06:29 am
Respuesta #2

cristianoceli

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Hola

Hola tengo dudas con esta demostración necesito ayuda para poder encarararla no se me ocurre como empezar

Definimos un triangulo "almost-equilateral"  de error \( e>0 \)si el valor absoluto de la diferencia entre cada uno de sus ángulos y 60° es menor que e.
Demuestre que para cada \( e>0 \) existen triángulos "almost-equilateral" de error \( e  \)cuyos vértices tienen coordenadas enteras en el plano cartesiano.

La existencia es fácil. Nota que si tomamos un triángulo con vértices \( A=(0,0),B=(2a,0) \) y \( C=(a,a\sqrt{3}) \) es equilátero de lado \( 2a \). El problema es que sus vértices no son enteros (en concreto si \( a \) es entero no lo es la ordenada de \( C \)). Pero si tomas por ejemplo \( a_n=10^n \) y \( A_n=(0,0),B_n=(2a_n,0) \) y \( C=(a_n,[a_n\sqrt{3}]) \) siendo \( [x]= \)parte entera de \( x \), comprueba que los ángulos del triángulo \( A_nB_nC_n \) se acercan tanto como queramos a \( 60^o \) a medida que \( n\to \infty \) y por tanto tenemos un triángulo "almost-equilateral" para cualquier \( e>0  \)con vértices de coordenadas enteras.

Citar
Además determine el de menor área

Esto lo veo bastante más delicado. Entiendo que hay que calcular el de menor área en función de \( e \), es decir para cada valor de \( e>0 \). ¿Es así?.

Saludos.

Exactamente eso es lo que me piden en función de \( e \) y no se como hacerlo.


Saludos