Autor Tema: Finitud e infinitud de conjuntos

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16 Agosto, 2020, 05:30 pm
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castrokin

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Buenas chicos saludos a todos

Me gustaría que me ayudasen con este ejercicio ya que no lo entiendo del todo

El enunciado de este dice así

Sea \( n \) el conjunto de los numero naturales y considerando los siguientes conjuntos

\( A= \left\{{n\in{N}: 3<n\leq{14}}\right\} \)

\( B=\left\{{n\in{N}: \textrm{n+2 es primo}}\right\} \)

\( C=\left\{{n\in{N}:  \textrm{ n es divisible por 5}}\right\} \)

\( D= \left\{{n\in{N}: 2<n<21 \textrm{ y n es impar}}\right\} \)

determine la finitud e infinitud de los conjuntos \( \textrm{A, B, C y D} \)

Ahora he logrado llegar a la conclusión que los conjuntos son

\( A=\left\{{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}\right\} \)

\( C=\left\{{5, 10, 15, 20, 25, 30,....}\right\} \) hasta el infinito

\( D=\left\{{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21}\right\} \)

\( B= \left\{{1, 3}\right\} \) en esta tengo dudas por que no estoy seguro de que esa sea la respuesta correcta

Mi pregunta es en base a los conceptos de finitud o infinitud  ya que no los entiendo muy bien revisando podría decir que \( \textrm{A, B y D} \) son finitos por que tienen un inicio y un final mientras que el \( D \) es Infinito

No estoy seguro de que sea así creo que falta algo porque he leído algo de los conjuntos infinitos numerados y no numerados y no entiendo esa parte

Muchas gracias chicos

PS Adjunto envío imagen del enunciado para mejor comprensión

17 Agosto, 2020, 01:00 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

\( A=\left\{{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}\right\} \)

\( C=\left\{{5, 10, 15, 20, 25, 30,....}\right\} \) hasta el infinito

\( D=\left\{{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21}\right\} \)

Mi pregunta es en base a los conceptos de finitud o infinitud  ya que no los entiendo muy bien revisando podría decir que \( \textrm{A, B y D} \) son finitos por que tienen un inicio y un final mientras que el \( D \) es Infinito

Lo que has hecho es buscar a los conjuntos por extensión, es decir listando todos y cada uno de sus elementos. De ahí deduces que si la lista "acaba" es porque el conjunto es finito. Si no acabase sería infinito.

De los 3 que cito están todos bien salvo que \( 21\notin D \) pues en su definición está con un menor estricto. Esos 3 conjuntos son finitos. Entonces \( A \) y \( D \) son finitos, mientras que \( C \) es infinito.

Ahora bien, observa que para el caso de \( B \), si haces una lista con los primeros números primos tendrás: \( X=\{2,3,5,7,11,13,\dots\} \). Cada elemento del conjunto es un número primo (que es infinito). Por lo tanto, si quieres buscar los naturales tales que sumados a \( 2 \) den un número primo, lo que tienes que hacer es tomar cada elemento de \( X \) y restarle \( 2 \): \( B=\{1,3,5,9,11,\dots\} \) (excluimos al \( 0 \) pues algunos autores dicen que no se considera un número natural).

Como ves, \( B \) es infinito, así que ya lo tienes.

Saludos

CORREGIDO

17 Agosto, 2020, 02:30 am
Respuesta #2

castrokin

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Muchas gracias por tu pronta respuesta

siendo así entonces ¿Los conjunto \( \textrm{B y C} \) serian conjuntos infinitos?

También he encontrado esta definición de los conjuntos infinitos numerables que dice que son los conjuntos que tienen el mismo numero de elementos que el conjunto de los números naturales, es decir que se pueden poner en correspondencia biyectiva con N

¿Se aplicaría esta definición a los ejemplos? yo diría que no porque estamos usando los números naturales



¿Qué me dicen?

muchas gracias

17 Agosto, 2020, 02:51 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola

siendo así entonces ¿Los conjunto \( \textrm{B y C} \) serían conjuntos infinitos?

Sí. Corregí una pequeña errata en mi anterior mensaje.

También he encontrado esta definición de los conjuntos infinitos numerables que dice que son los conjuntos que tienen el mismo número de elementos que el conjunto de los números naturales, es decir que se pueden poner en correspondencia biyectiva con N

¿Se aplicaría esta definición a los ejemplos? yo diría que no porque estamos usando los números naturales

Sí, es correcto. Pero es algo más latoso, por eso te di la respuesta simple que te di.

Por ejemplo es bien sabido que entre los conjuntos \( \Bbb{N}=\{1,2,3,4,5,\dots\} \) y \( P=\{2,4,6,8,10,\dots\} \) de los números pares existe una función \( f\colon\Bbb{N}\to P\mid f(n)=2n \) de modo tal que \( f \) resulta una biyección. Podrías hacerlo así, pero me parece que dependiendo del nivel de tu curso es conveniente que lo pienses como te dije antes.

Saludos

17 Agosto, 2020, 03:03 am
Respuesta #4

castrokin

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Muchísimas Gracias por tu ayuda


17 Agosto, 2020, 10:30 am
Respuesta #5

feriva

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Buenas chicos saludos a todos

Me gustaría que me ayudasen con este ejercicio ya que no lo entiendo del todo


Hola.

Para el B quizá también podría servir definir un conjunto más

\( E=\{n,m\in\mathbb{N}:\, n=(2m-1)+2\}
  \)

Tomando desde m=1 son los impares mayores que 1 hasta el infinito. Entonces todos los elementos de B menos el primo 2 están contenidos en E.

Ahora, supongo que podrás decir directamente que los primos son infinitos y ya está.

Spoiler

No obstante, la prueba es tan corta que se puede poner; ya la sabrás.

Si los primos fueran finitos y “P” fuera el mayor primo, existiría un natural

\( ab=P!+1
  \)

donde tendrá que ocurrir o bien a=1 y b primo (o sea, “ab” sería primo) ó “a” y “b” distintos de 1; que sería no primo.

En el primer caso tendríamos que \( b=P!+1
  \), pero entonces “b” sería un primo mayor que P; y es absurdo según la hipótesis.

En el segundo caso cualquier factor primo que obtengamos al factorizar “ab” (sea “c” dicho factor) tiene que dividir a \( P!
  \), pues \( P!
  \) es el producto (entre otros factores más) de todos los primos existentes hasta P incluido.

Pero si “c” divide a \( P!
  \), entonces \( \dfrac{P!}{c}
  \) es un entero, obviamente, por lo que

\( \dfrac{P!}{c}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{ab}{c}\notin\mathbb{N}
  \); puesto que \( \dfrac{1}{c}<1
  \) no es entero; con lo que al sumarlo con el natural \( \dfrac{P!}{c}
  \) la suma tampoco lo es.

Sin embargo, como “c” es factor de “ab”, ocurre que \( \dfrac{ab}{c}\in\mathbb{N}
  \); y es contradictorio, no puede ser una cosa y su contraria.

Luego no es posible que exista un último P.

[cerrar]

17 Agosto, 2020, 12:08 pm
Respuesta #6

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Parece según comenta castrokin que habría que aplicar una definición más formal que la de "no acaba nunca" o "acaba". Por definición, un conjunto es finito si es vacío o equivalente a \( \left\{{1,2,\ldots,n}\right\} \) para algún natural \( n \). Según esto, la aplicación \( f:\left\{{1,2\ldots,11}\right\}\to A \) dada por \( f(n)=n+3 \) es biyectiva y por tanto \( A \) es finito. Por otra parte, el conjunto \( \mathbb{P}=\{p_1,p_2,p_3,\ldots\} \) de los números primos, sabemos que es infinito numerable y la aplicación \( g:\mathbb{P}\to B \) dada por \( g(p_n)=p_n-2 \) es biyectiva, por tanto \( B \) es infinito numerable. Se puede seguir el mismo procedimiento para \( C \) y \( D \).

19 Agosto, 2020, 12:28 am
Respuesta #7

castrokin

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Parece según comenta castrokin que habría que aplicar una definición más formal que la de "no acaba nunca" o "acaba". Por definición, un conjunto es finito si es vacío o equivalente a \( \left\{{1,2,\ldots,n}\right\} \) para algún natural \( n \). Según esto, la aplicación \( f:\left\{{1,2\ldots,11}\right\}\to A \) dada por \( f(n)=n+3 \) es biyectiva y por tanto \( A \) es finito. Por otra parte, el conjunto \( \mathbb{P}=\{p_1,p_2,p_3,\ldots\} \) de los números primos, sabemos que es infinito numerable y la aplicación \( g:\mathbb{P}\to B \) dada por \( g(p_n)=p_n-2 \) es biyectiva, por tanto \( B \) es infinito numerable. Se puede seguir el mismo procedimiento para \( C \) y \( D \).

Hola chicos

siguiendo lo que me dices podría decir que

\( f:\left\{{1,2,...,n}\right\}\rightarrow{D} \) dada por \( f(n)=(2n-1)+2 \) es biyectiva por tanto \( D \) es finito

y

\( f:N\rightarrow{C}=\left\{{n\in{N}}:\textrm{n es divisible entre 5}\right\} \) aplicando \( f(n)= \frac{n}{5} \) es Biyectiva y por lo tanto es infinito numerable

¿Estaré en lo correcto?

Saludos

19 Agosto, 2020, 06:50 am
Respuesta #8

Fernando Revilla

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\( f:\left\{{1,2,...,n}\right\}\rightarrow{D} \) dada por \( f(n)=(2n-1)+2 \) es biyectiva por tanto \( D \) es finito

Precisando sería: \( f:\left\{{1,2,3,\ldots, 9}\right\}\to D=\left\{{3,5,7,\ldots,19}\right\} \) dada por \( f(n)=2n+1 \).

\( f:N\rightarrow{C}=\left\{{n\in{N}}:\textrm{n es divisible entre 5}\right\} \) aplicando \( f(n)= \frac{n}{5} \) es Biyectiva y por lo tanto es infinito numerable

Observa que la aplicación no está bien definida. Por ejemplo \( f(1)=1/5\notin C \). Sería \( f:C\to \mathbb{N} \) dada por \( f(n)=n/5 \).

19 Agosto, 2020, 05:38 pm
Respuesta #9

castrokin

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Muchas gracias por tu pronta respuesta

quizás sea una pregunta un poco obvia pero mi duda es

Observa que la aplicación no está bien definida. Por ejemplo \( f(1)=1/5\notin C \). Sería \( f:C\to \mathbb{N} \) dada por \( f(n)=n/5 \).

he revisado varios libros y me explican que la regla debería ser

\( f:\mathbb{N}\rightarrow{\textrm{el conjunto a evaluar}} \)

al hacerlo como me explicas

\( f:C\to \mathbb{N} \)

no estaría siguiendo la guía que me dan

espero puedas ayudarme

Saludos

19 Agosto, 2020, 09:57 pm
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

he revisado varios libros y me explican que la regla debería ser

\( f:\mathbb{N}\rightarrow{\textrm{el conjunto a evaluar}} \)

al hacerlo como me explicas

\( f:C\to \mathbb{N} \)

no estaría siguiendo la guía que me dan

Dado que buscas una aplicación biyectiva tiene inversa y por tanto es equivalente dar la función o su inversa.

En otras palabras toma la inversa de la dada por Fernando:

\( g:\Bbb N\to C,\qquad g(n)=5n \)

Saludos.

19 Agosto, 2020, 10:39 pm
Respuesta #11

castrokin

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Muchísimas Gracias amigo me has ayudado mucho

Saludos desde Venezuela

25 Agosto, 2020, 11:49 am
Respuesta #12

Fernando Revilla

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Muchas gracias por tu pronta respuesta

quizás sea una pregunta un poco obvia pero mi duda es

Observa que la aplicación no está bien definida. Por ejemplo \( f(1)=1/5\notin C \). Sería \( f:C\to \mathbb{N} \) dada por \( f(n)=n/5 \).

he revisado varios libros y me explican que la regla debería ser

\( f:\mathbb{N}\rightarrow{\textrm{el conjunto a evaluar}} \)

al hacerlo como me explicas

\( f:C\to \mathbb{N} \)

no estaría siguiendo la guía que me dan

espero puedas ayudarme

Saludos

No es obligatorio que sigas la guía. Ten en cuenta que la relación de equivalencia entre conjuntos es simétrica. Vale tanto pues la aplicación dada por mí como la dada por Luis.