Hola
Hola Chicos saludos a todos
espero que me puedan ayudar ya que este ejercicio me ha dado muchos dolores de cabeza
me piden usar el método de inducción y demostrar que \( \forall{n}\in{N} \)
\( 1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)=n(n+1)\frac{(2n+7)}{6} \)
ahora lo que he hecho es lo siguiente cambiar los valores de \( n \) a \( h \) y \( h+1 \) quedando de esta manera
\( S_n=1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)=n(n+1)\frac{(2n+7)}{6} \)
\( S_h = h(h+1)\frac{(2h+7)}{6} = (h^2 +h)\frac{(2h+7)}{6} = \frac{2h^3 +9h^2 +7h}{6} \)
\( S_{h+1} =(h+1)(h+1+1)\frac{(2(h+1)+7)}{6} =(h+1)(h+2)\frac{(2(h+1)+7)}{6} =(h^2+3h+2)\frac{(2(h+1)+7)}{6} \)
quedando entonces
\( S_{h+1} = 1*3+2*4+3*5+...+h(h+2)+(h+1)(h+3) \)
\( S_{h+1} = \frac{2h^3 +9h^2 +7h}{6}+(h^2+4h+3) \)
quedando el resultado
\( \frac{2h^3+15h^2+31h+18}{6} \)
¿Estaré haciendo los pasos correctamente? porque creo que estoy obviando alguna parte importante
muchísimas gracias por su ayuda
P.S adjunto captura del enunciado del ejercicio para mayor claridad
¡Hombre, que te complicas demasiado!
Simplemente nota que el lado izquierdo de lo que quieres demostrar equivale a
\( \displaystyle\sum_{i=1}^ni(i+2)=\sum_{i=1}^n(i^2+2i)=\sum_{i=1}^ni^2+\sum_{i=1}^n2i=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+2\frac{n(n+1)}{2}, \)
(previamente habiendo demostrado ambos resultados, que seguro ya lo has hecho), realizar los cálculos y concluir el miembro derecho.
También puedes usar inducción en \( n \) pero creo que así es menos latoso.
Saludos
Mods
Título cambiado de "Metodo de Induccion" a "Probar que \(1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+\dots+n(n+2)=n(n+1)\frac{(2n+7)}{6}\)".
