Autor Tema: Método de Inducción

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14 Agosto, 2020, 04:30 am
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castrokin

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Hola Chicos saludos a todos

espero que me puedan ayudar ya que este ejercicio me ha dado muchos dolores de cabeza

me piden usar el método de inducción y demostrar que \( \forall{n}\in{N} \)

\( 1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)=n(n+1)\frac{(2n+7)}{6} \)

ahora lo que he hecho es lo siguiente cambiar los valores de \( n \) a \( h \) y \( h+1 \) quedando de esta manera

\( S_n=1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)=n(n+1)\frac{(2n+7)}{6} \)

\( S_h = h(h+1)\frac{(2h+7)}{6} = (h^2 +h)\frac{(2h+7)}{6} = \frac{2h^3 +9h^2 +7h}{6} \)

\( S_{h+1} =(h+1)(h+1+1)\frac{(2(h+1)+7)}{6} =(h+1)(h+2)\frac{(2(h+1)+7)}{6} =(h^2+3h+2)\frac{(2(h+1)+7)}{6} \)

quedando entonces

\( S_{h+1} = 1*3+2*4+3*5+...+h(h+2)+(h+1)(h+3) \)

\( S_{h+1} = \frac{2h^3 +9h^2 +7h}{6}+(h^2+4h+3) \)

quedando el resultado

\( \frac{2h^3+15h^2+31h+18}{6} \)

¿Estaré haciendo los pasos correctamente? porque creo que estoy obviando alguna parte importante

muchísimas gracias por su ayuda

P.S adjunto captura del enunciado del ejercicio para mayor claridad

14 Agosto, 2020, 08:48 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Hola Chicos saludos a todos

espero que me puedan ayudar ya que este ejercicio me ha dado muchos dolores de cabeza

me piden usar el método de inducción y demostrar que \( \forall{n}\in{N} \)

\( 1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)=n(n+1)\frac{(2n+7)}{6} \)

ahora lo que he hecho es lo siguiente cambiar los valores de \( n \) a \( h \) y \( h+1 \) quedando de esta manera

\( S_n=1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)=n(n+1)\frac{(2n+7)}{6} \)

\( S_h = h(h+1)\frac{(2h+7)}{6} = (h^2 +h)\frac{(2h+7)}{6} = \frac{2h^3 +9h^2 +7h}{6} \)

\( S_{h+1} =(h+1)(h+1+1)\frac{(2(h+1)+7)}{6} =(h+1)(h+2)\frac{(2(h+1)+7)}{6} =(h^2+3h+2)\frac{(2(h+1)+7)}{6} \)

quedando entonces

\( S_{h+1} = 1*3+2*4+3*5+...+h(h+2)+(h+1)(h+3) \)

\( S_{h+1} = \frac{2h^3 +9h^2 +7h}{6}+(h^2+4h+3) \)

quedando el resultado

\( \frac{2h^3+15h^2+31h+18}{6} \)

¿Estaré haciendo los pasos correctamente? porque creo que estoy obviando alguna parte importante

muchísimas gracias por su ayuda

P.S adjunto captura del enunciado del ejercicio para mayor claridad

¡Hombre, que te complicas demasiado!

Simplemente nota que el lado izquierdo de lo que quieres demostrar equivale a

\( \displaystyle\sum_{i=1}^ni(i+2)=\sum_{i=1}^n(i^2+2i)=\sum_{i=1}^ni^2+\sum_{i=1}^n2i=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+2\frac{n(n+1)}{2}, \)

(previamente habiendo demostrado ambos resultados, que seguro ya lo has hecho), realizar los cálculos y concluir el miembro derecho.

También puedes usar inducción en \( n \) pero creo que así es menos latoso.

Saludos

Mods
Título cambiado de "Metodo de Induccion" a "Probar que \(1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+\dots+n(n+2)=n(n+1)\frac{(2n+7)}{6}\)".
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14 Agosto, 2020, 05:03 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Para hacerlo directamente:
Para \( k=1 \) es cierto \( 1\cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot \dfrac{2\cdot 1+7}{6}  \).
Supuesto cierto para \( n=k \)   (\( \displaystyle \sum_{i=1}^n i\cdot (i+2) = n \cdot (n+1) \cdot \dfrac{2n+7}{6}  \)), lo verificamos para \( n = k+1  \) :
\( \displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} i \cdot (i+2) = \sum_{i=1}^n i \cdot (i+2) + (n+1)\cdot (n+3)  \).
Mira el spoiler sólo si no te sale.
Spoiler
\( \displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} i \cdot (i+2) = \sum_{i=1}^n i \cdot (i+2) + (n+1) \cdot (n+3) =  \) H.I =
\(  = \displaystyle n \cdot (n+1) \cdot \dfrac{2n+7}{6} + (n+1) \cdot \dfrac{6 \cdot (n+3)}{6} = \dfrac{n+1}{6} \cdot (2n^2+7n+6n+18) = \dfrac{n+1}{6} \cdot (2n^2+ 13n+18) =  \cdots  \)
[cerrar]


14 Agosto, 2020, 06:07 pm
Respuesta #3

castrokin

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Muchas gracias chicos por sus respuestas

desconocía esa forma de resolver el ejercicio ya que me estaba guiando de un libro muy viejo

muchas gracias