Autor Tema: Singularidad evitable

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12 Agosto, 2020, 10:14 am
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conchivgr

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Hola.

Me he encontrado con una proposicion y tengo alguna duda sobre ella.

Sea $$a$$ una sigularidad aislada de una funcion compleja $$f(z)$$. Si existe un $$M$$ tal que $$\left |{f(z)}\right |\leq{M}$$, entonces, todos los coeficientes $$\left |{c_{-n}}\right |=0$$ en la expansion en series de Laurent de $$f(z)$$.

Demostracion: por la desigualdad de Cauchy, $$\left |{c_{n}}\right |\leq{\frac{M}{\gamma^{n}}}$$ para $$0<\gamma<1$$. Por lo tanto, $$c_{n}=0$$ para todo $$n<0$$.

La demostracion es muy corta, pero aun asi tengo dos dudas.

La primera es, por que $$0<\gamma<1$$?. Yo creo que deberia ser $$0<\gamma<r$$, ya que $$f$$ es holomorfa en $$\{z\in{\mathbb{C}}:0<\left |{z-a}\right |<r\}$$.

La segunda, de la desigualdad de Cauchy y de que $$n<0$$, se deriva el resultado directamente?.

Es decir, si $$n<0$$, la desigualdad de Cauchy queda $$\left |{c_{-n}}\right |\leq{\frac{M}{\gamma^{-n}}}=M\gamma^n$$.

No veo como de aqui, $$\left |{c_{-n}}\right |=0$$ para todo $$n<0$$.

Besos.  :-*

12 Agosto, 2020, 11:27 am
Respuesta #1

geómetracat

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¿De dónde has sacado esa demostración?

Yo la verdad es que tampoco le veo sentido. Además, las desigualdades de Cauchy que yo sepa no sirven para \( n<0 \).

El hecho de que si \( f \) es acotada en un entorno de una singularidad aislada entonces es holomorfa se conoce como teorema de Riemann. Puedes ver la demostración usual por ejemplo aquí:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Removable_singularity
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)