Autor Tema: Problema de área sombreada

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11 Agosto, 2020, 08:33 pm
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hfarias

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Estimados tengo el siguiente problema: Calcular la superficie sombreada de la figura,en metros cuadrados,sabiendo que el radio menor mide 13mts,el radio mayor es un 30%
más largo que el menor y abarca un ángulo Beta de 34º.

el ángulo de 34º me parece que no está bien, ya que si yo lo mido con el transportador me da 125º.

La figura corresponde a una corona circular y de acuerdo al dibujo para calcular el área sombreada yo creo que tengo que aplicar la fórmula del sector circular
y la del trapecio circular. No tengo el resultado del mismo.

Solicito me digan si es correcto o cómo debo plantearlo.

Envío archivo con el dibujo de la figura.

 

12 Agosto, 2020, 01:31 am
Respuesta #1

robinlambada

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Hola:
Estimados tengo el siguiente problema:Calcular la superficie sombreada de la figura,en metros cuadrados,sabiendo que el radio menor mide 13mts,el radio mayor es un 30%
mas largo que el menor y abarca un ángulo Beta de 34º.

el ángulo de 34º me parece que no esta bien,ya que si yo lo mido con el transportador me da 125º.

La figura corresponde a una corona circular y de acuerdo al dibujo para calcular el área sombreada yo creo que tengo que aplicar la formula del sector circular
y la del trapecio circular. No tengo el resultado del mismo.

Solicito me digan si es correcto o como debo plantearlo.

Envio archivo con el dibujo de la figura.
La verdad es que el ángulo \(\beta\) en el dibujo parece mayor de 34º. Pero ten en cuenta que en estos tipos de problemas las figuras son aproximadas, por tanto tienes que usar los datos que te dan es decir \(\beta=34º\)

Si se trata de un sector de una corona circular más un sector circular.

Solo tienes que utilizar las fórmulas adecuadas o deducirlas de la corona circular y del circulo respectivamente  sabiendo que son proporcionales al ángulo de los sectores.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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12 Agosto, 2020, 03:58 am
Respuesta #2

hfarias

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Gracias robinlambada voy a enviar lo que hago con este ejercicio para resolverlo y o envio,no tengo el resultado para comparar.

12 Agosto, 2020, 09:52 am
Respuesta #3

feriva

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Solicito me digan si es correcto o cómo debo plantearlo.

Hola, hfarias.

Yo no me acuerdo ahora mismo de una fórmula especial para esto, pero es simplemente ver que si una circunferencia entera son 360 grados (o \( 2\pi
  \) radianes, como quieras) la parte proporcional de circunferencia, que supone la del ángulo beta, será “k” tal que la relación de equivalencia vendrá dada por

\( \dfrac{360}{1}=\dfrac{\beta}{k}
  \)

\( k=\dfrac{\beta}{360}
  \).

(y se tienen los datos para hallar el valor numérico de “k”).

Como la circunferencia pequeña tiene un área total de \( \pi\cdot r^{2}
  \), el área del sector pequeño sombreado será \( k\cdot\pi\cdot r^{2}
  \).

En cuanto al sector grande respecto del ángulo que complementa beta, \( 360-\beta
  \) (para el área sombreada y la blanca, las dos juntas) pues se busca igual, obtendrás un área de \( k_{2}\cdot\pi\cdot R^{2}
  \) (donde R es el radio grande).

Para tener la zona sombreada grande nada más, ya sólo tienes que restarle el área de la sección blanca de la circunferencia pequeña, que es \( \pi r^{2}-k\cdot\pi\cdot r^{2}=\pi r^{2}\cdot(1-k)
  \).

Y sumas las dos áreas sombreadas y ya está.



Saludos.

12 Agosto, 2020, 10:22 am
Respuesta #4

robinlambada

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Dos observaciónes.

1ª Advertir que como ambos ángulos suman 360º, entonces \(k+k_2=1\) por ello \(k_2=1-k\)

2ª Otra forma de sacar las fórmulas de los sectores, es pensar que si sabemos el área de un sector circular de angulo unitario " 1º ", por proporcionalidad sin más que multiplicar el área del sector de ángulo unitario por el ángulo \(\beta\) obtenemos el área del sector de dicho ángulo. Para hallafr el área del sector circular de ángulo unidad, solo se divide el área del círculo entre 360º

Entonces: \(A_{sector}(\beta)=A_{circulo}\cdot{}\dfrac{\beta}{360}=\pi\cdot{}r^2\dfrac{\beta}{360}\)

Igual se razona para el sector de corona. Notamos que \(k+k_2=\dfrac{\beta}{360}+\dfrac{360-\beta}{360}=\dfrac{360}{360}=1\)

Saludos.
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16 Agosto, 2020, 12:13 am
Respuesta #5

hfarias

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Estimados robilambada y feriva yo hice esto

Datos:

r1 = 13 mts

R2 = 16.9 mts

ángulo = 34º

Parte proporcional dela circunferencia "K"

\( \displaystyle  K = \frac {34}{360} = 0.094 \)

Area Sector Sombreado Pequeño

\( \displaystyle Asp = 0.094 \cdot 3.1416 \cdot 169 = 49.90 m^2  \)

Para el Sector Grande tengo \( \displaystyle  360º - 34º = 326º \)

\( \displaystyle K2 = \frac{34}{326} = 0.104  \)

Area Sector Grande = \( \displaystyle 0.104 \cdot 3.1416 \cdot 285.6 = 93.31 m^2  \)

Area Sombreada seria \( \displaystyle A1 + A2  \)

\( \displaystyle  Asombreada = 387.69 m^2 + 49.90^2 = 437.6 m^2  \)

Es Correcto esto.




16 Agosto, 2020, 01:08 am
Respuesta #6

robinlambada

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Hola.
Estimados robilambada y feriva yo hice esto

Datos:

r1 = 13 mts

R2 = 16.9 mts

ángulo = 34º

Parte proporcional dela circunferencia "K"

\( \displaystyle  K = \frac {34}{360} = 0.094 \)

Area Sector Sombreado Pequeño

\( \displaystyle Asp = 0.094 \cdot 3.1416 \cdot 169 = 49.90 m^2  \)
Esta bien.

Citar

Para el Sector Grande tengo \( \displaystyle  360º - 34º = 326º \)

\( \displaystyle K2 = \frac{34}{326} = 0.104  \)
No, \( \displaystyle K_2 = \frac{326}{360} =1-K \)


Citar
Area Sector Grande = \( \displaystyle 0.104 \cdot 3.1416 \cdot 285.6 = 93.31 m^2  \)

Area Sombreada seria \( \displaystyle A1 + A2  \)

\( \displaystyle  Asombreada = 387.69 m^2 + 49.90^2 = 437.6 m^2  \)

Es Correcto esto.
No es correcto , pues del lado izquierdo, no tienes un sector circular, sino que tienes un sector de una corona circular.
El área de la corona circular es el área del circulo grande menos el área del circulo pequeño interior, pero como no es una corona entera, si no un sector, ha esta resta la multiplicas por el factor de proporcionalidad $$K_2$$

Saludos.
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