[Wikiboy]

Buenas... Me han pedido ayuda con este ejercicio unos compañeros y no doy con la tecla, lo he planteado "a lo bruto" con una matriz de 6 incognitas (es simetrica) pero no se que hacer con el dato del espacio propio, no soy capaz de hallar el autovalor asociado

Gracias de antemano al que se tome la molestia

El enunciado dice:  Sea \( A \) una matriz real y simétrica, tal que \( traza(A)=5 \) y \( Det(A)=3. \) Si \( A\cdot (1,1,2)^t = (1,1,2)^t \), y además  \( L = \{x+y-z=0\} \) es un subespacio propio asociado a \( A \), determinar la matriz \( A.
 \)

[delmar]

Hola

Por existir el determinante, A es cuadrada  y de dimensión 3 para poder multiplicarse por el vector \( (1,2,1)^t \). Por ser simétrica real solamente hay 6 incógnitas y ojo siempre tiene una base de autovectores y sus autovalores son números reales. Por definición \( \begin{pmatrix}{1}\\{2}\\{1}\end{pmatrix} \) es un autovector perteneciente al autovalor \( \lambda_1=1 \), en esas circunstancias se pueden hallar el resto de autovalores, por el hecho que el determinante y la traza son invariantes respecto a matrices semejantes, utilizando la matriz respecto a la base de autovectores se tiene :

\( Trz(A)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=5\Rightarrow{\lambda_2+\lambda_3=4} \)

\( det(A)=\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3=3\Rightarrow{\lambda_2 \lambda_3=3} \)

Evidentemente uno de los autovalores será de mutliplicidad 2 ¿Cual es?

El subespacio propio L se puede poner de la forma : \( L=\left\{{\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix} \ / \ \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}}\right\} \)
L es de dimensión 2, los dos vectores mostrados constituyen una base de L y por definición son autovectores, en esas condiciones se tienen 6 ecuaciones más :

\( A\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}=\lambda_i \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \)

\( A\begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}=\lambda_j \begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{1}\end{pmatrix} \)

He puesto \( \lambda_i, \  \lambda_j \) por que hay que identificar el autovalor correspondiente a cada vector, sus valores ya se han hallado; pero hay que emparejarlos, con los autovectores.

Al emparejarlos (autovector-autovalor) se obtendrá, la respuesta a la interrogante del problema es decir A.

Saludos

[geómetracat]

Creo que la manera más sencilla de hacer el ejercicio es encontrando una base de vectores propios (en la que la matriz es diagonal) y su expresión en esta base, y después hacer un cambio de base a la canónica. Como una matriz simétrica siempre es diagonalizable esto se puede hacer.

Para esto, fíjate que \( L \) es un espacio de vectores propios asociado al valor propio \( 1 \) (porque \( (1,1,2) \in L \), y que una base de \( L \) es por ejemplo \( (1,0,1),(0,1,1) \). Por otro lado, los subespacios de vectores propios de una matriz simétrica son siempre ortogonales, así que el vector propio que falta (asociado a un valor propio \( \lambda \neq 1 \)) debe ser ortogonal a \( L \). Es fácil ver que entonces este subespacio es \( \langle (1,1,-1)\rangle \). Así pues, en la base \( (1,0,1), (0,1,1), (1,1,-1) \) la aplicación lineal asociada a la matriz se expresa como:
\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{\lambda}\end{bmatrix} \).
Del determinante (o de la traza), recordando que son invariantes frente a cambios de base, se obtiene que \( \lambda=3 \).
Ahora ya solo queda hacer el cambio de base a la base canónica, que es un ejercicio rutinario.

PD: Se me adelantó delmar, aunque el enfoque es algo distinto.

[delmar]

En mi mensaje anterior hay un error en lugar del vector \( (1,1,2)^t \) he tomado el vector \( (1,2,1)^t \) y este autovector no pertenece a L, considerando ese detalle para el caso del  problema propuesto sigo el enfoque de geómetracat

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo ha comentado de pasada geómetracat, pero lo subrayo:

Del determinante (o de la traza), recordando que son invariantes frente a cambios de base, se obtiene que \( \lambda=3 \).

 Sobra un dato, es decir, llegaría con conocer o sólo la traza ó solo el determinante.

Saludos.