[Vickivictoria]

Investigar si \( V=\{(x;y)\in{}\mathbb{R^2}|y=2x\} \) es un subespacio.

No se como empezar, siempre que me dieron las restricciones me las dieron igualadas a cero, será que debo igualarla?
\( 2x-y=0 \)

[Masacroso]

Investigar si \( V={(x;y)\in{}\mathbb{R^2}}/y=2x \) es un subespacio.

No se como empezar, siempre que me dieron las restricciones me las dieron igualadas a cero, será que debo igualarla?
2x-y=0

Tienes que demostrar que si \( \mathbf v,\mathbf w\in V \) entonces \( \alpha\mathbf v+\beta\mathbf w\in V \) también para cualesquiera \( \alpha ,\beta \in \mathbb{R} \). Ahora si \( \mathbf v=(v_1,v_2) \) y \( \mathbf w=(w_1,w_2) \) entonces

\( \displaystyle{
\alpha\mathbf v+\beta\mathbf w=\alpha (v_1,v_2)+\beta (w_1,w_2)=(\alpha v_1+\beta w_1,\alpha v_2+\beta w_2)
} \)

y tienes que demostrar que

\( \displaystyle{
2v_1=v_2 \,\land\, 2w_1=w_2\implies\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}:2(\alpha v_1+\beta w_1)=\alpha v_2+\beta w_2
} \)

Espero que con eso ya puedas resolverlo.

[delmar]

Hola

Otra forma pero equivalente a lo mostrado por Masacroso

Para que \( V\subseteq{R^2} \) sea un subespacio vectorial de \( R^2 \) se han de cumplir dos condiciones :

Si \( (x_1,y_1), \ (x_2,y_2)\in{V}, \ \lambda\in{R}\Rightarrow{} \)

1) \( (x_1,y_1)+(x_2,y_2)\in{V} \)

2) \( \lambda \cdot{(x_1,y_1)}\in{V} \)

Te detallo la 1) \( (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \) Ec. 1

\( (x_1,y_1), \ (x_2,y_2)\in{V}\Rightarrow{y_1=2x_1, \ y_2=2x_2} \)

Poniendo estos resultados en la Ec. 1 se tiene :

\( (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2,2x_1+2x_2)=(x_1+x_2, 2(x_1+x_2)) \)

¿\( (x_1+x_2, 2(x_1+x_2))\in{V} \)? En caso afirmativo V cumple la condición 1, en caso contrario, no es subespacio. Creo que puedes concluir y seguir con la segunda condición.


Saludos