Autor Tema: Distribuciones

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30 Julio, 2020, 09:28 am
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carixto

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Hola
Traigo este problema un tanto complejo.

Saludos

30 Julio, 2020, 10:14 am
Respuesta #1

geómetracat

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Te dejo un par de ideas.

Una, si sabes que el espacio de funciones reales acotadas y continuas con la norma del supremo es completo, entonces el resultado se sigue de que no existe el límite de esa sucesión de funciones, mientras que si fuera Cauchy debería existir.

Dos, directamente, mirando la imagen de las funciones en \( 0 \) tienes que \( \sup |\theta_n - \theta_m| = n^2-m^2 \) si \( n\geq m \). De aquí se ve directamente que la sucesión no es de Cauchy, pues dado cualquier \( m \) siempre puedes tomar un \( n>m \) que hace \( n^2-m^2 \) arbitrariamente grande.

Añadido: Por cierto, creo que la definición de las funciones está mal, porque esas no son continuas en el cero. Imagino que debería ser \( n^2(\frac{1}{n} -t) \) para \( t \in [0,\frac{1}{t}] \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Julio, 2020, 10:46 pm
Respuesta #2

carixto

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Hola, gracias.
Me podria ayudar con lo siguiente
1.¿encuentra razonable señalar que la sucesion converge, pese a que no en la Topologia de la norma? Tomando encuentra su límite.
[texx] \theta(t)= \left\{
\begin{array}{lc}
\\ 0 &  t \in \mathbb{R} -(0) \\
\\ \infty &  t=0 \\
\end{array}\right.[/texx]

¿Podría dar un argumento razonable, o aceptable de por que lo anterior tiene sentido?

2.Demuestre
\begin{equation}
 \int_{\mathbb{R}} \theta_n(t)dt =1
\end{equation}

\begin{equation}
 \int_{\mathbb{R}} \theta_n(t)dt =0
\end{equation}

donde [texx]  dt [/texx] es la medida de lebesgue de dimension 1.¿Podria dar una razón de por que no coincide él límite de la integral de la integral con la integral del límite?

31 Julio, 2020, 01:04 am
Respuesta #3

geómetracat

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Son preguntas abiertas y ambiguas: "encuentra razonable...?", de manera que deberías responder tú según creas o si te parece o no razonable.

Sobre la parte más "objetiva", lo que está claro es que el límite puntual de la sucesión de funciones es la que te indican en 1. Y por otro lado, en 2, la integral de \( \theta_n \) es muy sencilla de calcular y comprobar que da \( 1 \) para todo \( n \). En la integral de (2) imagino que debe de haber una errata y debe ser la integral de \( \theta \) (la función que te dan en 1) y no de \( \theta_n \). En tal caso, que la integral es cero se sigue de que esa función coincide con la función cero salvo en un punto, que no afecta a la integral pues es de medida nula.
Sobre por qué no coincide el límite de la integral con la integral del límite no sé muy bien qué respuesta buscarán, pero no veo por qué debería coincidir, ya que ninguno de los teoremas usuales (convergencia monótona, convergencia dominada) es aplicable.

En cualquier caso imagino que esto es una especie de preparación para la definición de distribuciones. La respuesta final a todas estas preguntas es que la sucesión de funciones dada converge a una delta de Dirac en el sentido de las distribuciones. Pero eso supongo que ya lo verás en su momento.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

31 Julio, 2020, 02:38 am
Respuesta #4

Masacroso

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Hola
Traigo este problema un tanto complejo.
Sea la sucesión de funciones [texx] (\theta_n)_n \subset{} C(\mathbb{R} ,\mathbb{R}[/texx] definida por
[texx] \theta_n(t)=\left\{
\begin{array}{lc}
\\n^2(t+1/n) &  t \in [-1/n,0{\color{red}{]}} \\
\\n^2(t-1/n) &  t\in {\color{red}{[}}0,1/n] \\
\\ 0 & t \not\in [-1/n,0] \cup{} [0,1/n]
\end{array}\right.[/texx]
Dónde además [texx] C (\mathbb{R},\mathbb{R}) [/texx] está dotado de la norma del supremo, es decir, si [texx] x \in C(\mathbb{R},\mathbb{R})[/texx], se tiene que
[texx] ||x||=sup|x(t)|  [/texx] con [texx] t \in \mathbb{R} [/texx]
Por ejemplo [texx] ||sen(t)||=1 [/texx]
Pruebe que [texx] (\theta_n)_n [/texx] no puede ser una sucesión de Cauchy para la topología de la norma que de ha dado.
Saludos

Uno de los corchetes marcados en rojo está errado, fíjate que sino no está definida ninguna de las funciones en el cero. Para que la convergencia puntual diverja a infinito debería ser \( (0,1/n] \) en vez de \( [0,1/n] \) así que sospecho que ese corchete debe estar errado.

CORRECCIÓN: como dice geometracat debería ser \( n^2(1/n-t) \) para que la función sea continua en el cero, y en ese caso no haría falta cambiar ningún corchete.

31 Julio, 2020, 04:50 am
Respuesta #5

carixto

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Gracias
Tienes razón