Autor Tema: Independencia de caminos

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28 Julio, 2020, 01:52 pm
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conchivgr

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Hola.

Estudiando la integracion de funciones complejas, me gustaria demostrar que la integral no depende del camino elegido entre dos puntos, cumpliendose las condiciones de suavidas, mediante un difeomorfismo. Es decir,

Supongamos que tenemos dos parametrizaciones distintas de dos caminos que van del punto $$z_1$$ al punto $$z_2$$, $$\gamma_1(t)$$ y $$\gamma_2(t)$$.
Queremos probar que $$\int_{\gamma_1}f(z)dz=\int_{\gamma_2}f(z)dz$$.

Tenemos un difeomorfismo que lleva un camino a otro, es decir, $$\theta:\gamma_1\longrightarrow{\gamma_2}$$, es decir, $$\theta(\gamma_1)=\gamma_2$$

Entonces:

$$\int_{\gamma_2}f(z)dz=\int_{z_1}^{z_2}f(\gamma_2)\gamma_2'dt=\int_{z_1}^{z_2}f(\theta(\gamma_1))\theta'(\gamma_1)dt=\int_{z_1}^{z_2}f(\theta(\gamma_1))\theta'(\gamma_1)\gamma'_1dt$$

Voy bien?

Como llego a $$\int_{z_1}^{z_2}f(\gamma_1)\gamma_1'dt$$?.

Besos.

28 Julio, 2020, 03:23 pm
Respuesta #1

conchivgr

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Hola.

Perdon, me he liado.

La proposicion dice que si $$\gamma_2\circ{\theta}=\gamma_1$$, con $$\theta$$ el difeomorfismo de $$[a,b]$$ en $$[c,d]$$ entonces

$$\int_{\gamma_2}f=\int_{c}^{d}(f\circ{\gamma_2})\gamma'_2=\int_{a}^{b}(f\circ{\gamma_2\circ{\theta}})(\gamma'_2\circ{\theta})\theta'=\int_{a}^{b}(f\circ{\gamma_1})\gamma'_1=\int_{\gamma_1}f$$

Lo que no entiendo es la segunda igualdad:

$$\int_{c}^{d}(f\circ{\gamma_2})\gamma'_2=\int_{a}^{b}(f\circ{\gamma_2\circ{\theta}})(\gamma'_2\circ{\theta})\theta'$$

Besos.

28 Julio, 2020, 03:40 pm
Respuesta #2

Masacroso

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Hola.

Perdon, me he liado.

La proposicion dice que si $$\gamma_2\circ{\theta}=\gamma_1$$, con $$\theta$$ el difeomorfismo de $$[a,b]$$ en $$[c,d]$$ entonces

$$\int_{\gamma_2}f=\int_{c}^{d}(f\circ{\gamma_2})\gamma'_2=\int_{a}^{b}(f\circ{\gamma_2\circ{\theta}})(\gamma'_2\circ{\theta})\theta'=\int_{a}^{b}(f\circ{\gamma_1})\gamma'_1=\int_{\gamma_1}f$$

Lo que no entiendo es la segunda igualdad:

$$\int_{c}^{d}(f\circ{\gamma_2})\gamma'_2=\int_{a}^{b}(f\circ{\gamma_2\circ{\theta}})(\gamma'_2\circ{\theta})\theta'$$

Besos.

Ahí al final simplemente se hace la sustitución \( t=\theta(s) \), entonces \( dt=\theta'(s) ds \), es decir

\( \displaystyle{
\int_{a}^b (f\circ \gamma _2)(t) \mathop{}\!d t=\int_{\theta ^{-1}(a)}^{\theta ^{-1}(b)} (f\circ \gamma _2)(\theta (s))\mathop{}\!d (\theta(s))=\int_c^d (f\circ \gamma _2 \circ \theta )(s) \theta '(s) \mathop{}\!d s
} \)

28 Julio, 2020, 03:49 pm
Respuesta #3

conchivgr

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Muchas gracias, entendido.

Besos.