Autor Tema: Extensión de función meromorfa es continua con la métrica cordal.

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28 Julio, 2020, 02:48 am
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lindtaylor

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El siguiente problema es del libro Conway.
Sea f función meromorfa sobre una región y defina \( g:G\to \mathbb{C}_{\infty} \) por \( f(z)=\infty   \) cuando \( z \) es un polo de \( f  \) y \( g(z)=f(z) \) si \( z \) no lo es. Pruebe que \( g \) es continua usando la métrica \( d(z,z')=\dfrac{2|z-z'|}{\sqrt{     (1+|z|^2)(1+|z'^2|) } } \) si \( z,z'\in\mathbb{C} \),\, \( d(z,z')=\dfrac{2}{\sqrt{1+|z|^2} } \) si \( z\in\mathbb{C}, z'=\infty \).

Pregunta . ¿Sólo se debe probar la continuidad en \( z=a \) un polo de \( f \)? Ya que en los demás puntos se tiene la continuidad al ser f analítica.

 
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28 Julio, 2020, 01:09 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

El siguiente problema es del libro Conway.
Sea f función meromorfa sobre una región y defina \( g:G\to \mathbb{C}_{\infty} \) por \( f(z)=\infty   \) cuando \( z \) es un polo de \( f  \) y \( g(z)=f(z) \) si \( z \) no lo es. Pruebe que \( g \) es continua usando la métrica \( d(z,z')=\dfrac{2|z-z'|}{\sqrt{     (1+|z|^2)(1+|z'^2|) } } \) si \( z,z'\in\mathbb{C} \),\, \( d(z,z')=\dfrac{2}{\sqrt{1+|z|^2} } \) si \( z\in\mathbb{C}, z'=\infty \).

Pregunta . ¿Sólo se debe probar la continuidad en \( z=a \) un polo de \( f \)? Ya que en los demás puntos se tiene la continuidad al ser f analítica.

Si, pero si previamente has probado que la métrica dada restringida a \( \Bbb C \) es equivalente a la métricas usual.

Saludos.