Autor Tema: Límites Trigonométricos

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23 Julio, 2020, 03:00 am
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castrokin

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Buenas chicos espero que me puedan ayudar ya que este ejercicio me esta dando muchos dolores de cabeza

Se me pide calcular

\( \displaystyle\lim_{x \to\infty}{\frac{sen^2 x}{x^2 -5}} \)

Buscando un poco en los libros me he encontrado con la formula trigonométrica del limite

\( \lim_{x \to\infty}{\frac{senx}{x}}=0 \)

tratando de llegar a esa conclusión lo he tratado de resolver de la siguiente manera

\( \lim_{x \to\infty}{\frac{senx}{x}*\frac{senx}{x-5}}= \lim_{x \to\infty}{0*\frac{senx}{x-5}} \)

de allí no he podido continuar y me gustaría que me dijesen si estoy en lo correcto haciendo la operación de esta manera

Muchas gracias de antemano esperando su pronta respuesta.

23 Julio, 2020, 03:53 am
Respuesta #1

sugata

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\( x^2-5=x(x-5/x) \)
Con esos denominadores te debería salir.

23 Julio, 2020, 04:52 am
Respuesta #2

castrokin

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Muchas gracias por tu pronta respuesta

usando la respuesta que me has proporcionado me quedaría de esta manera

\( \lim_{x \to\infty}{\frac{sen(x)*sen(x)}{x(x-\frac{5}{x})}} \)

al separarlo quedaría

\( \lim_{x \to\infty}{\frac{senx}{x}*\frac{senx}{x(x-\frac{5}{x})}} \)

Ahora al aplicar la formula quedaría

\( \lim_{x \to\infty}{0*\frac{senx}{x-\frac{5}{x}}} \)

y como toda multiplicación por cero es cero ese debería ser el limite

Me gustaría saber si estoy en lo correcto. muchas gracias


23 Julio, 2020, 05:16 am
Respuesta #3

ingmarov

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Hola

Creo que para este problema basta decir \[ {\color{red}\forall x \in \mathbb{R}},\, 0\leq sen^2(x)\leq 1 \], y para su máximo valor, 1, tenemos
\[ \lim_{x \to{+}\infty}{\frac{1}{x^2-5}}=0 \]

Por lo que \[ \lim_{x \to{+}\infty}{\frac{sen^2(x)}{x^2-5}}=0 \]

Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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23 Julio, 2020, 05:46 am
Respuesta #4

castrokin

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Muchísimas gracias

Entonces las dos formas estarían en lo correcto?

23 Julio, 2020, 06:23 am
Respuesta #5

ingmarov

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...
\( \lim_{x \to\infty}{0*\frac{senx}{x-\frac{5}{x}}} \)

y como toda multiplicación por cero es cero ese debería ser el limite

Me gustaría saber si estoy en lo correcto. muchas gracias

Lo que me hace dudar, es esa parte que te marqué en rojo, es que hablando de límites no siempre algo que tiende a cero al multiplicarse por algo nos resultará cero. Por ejemplo  \[ \lim_{x \to 0}{x\cdot\dfrac{1}{x}} \]    ó    \[ \lim_{x \to 0}{x\cdot\dfrac{1}{x^2}} \]. Claro, aquí tenemos la indeterminación \[ 0\cdot \infty \]

Creo que tendrías que calcular \[ \lim_{x \to 0}\frac{senx}{x-\frac{5}{x}} \] o mostrar que no tiende a infinito.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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23 Julio, 2020, 06:44 am
Respuesta #6

sugata

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...
\( \lim_{x \to\infty}{0*\frac{senx}{x-\frac{5}{x}}} \)

y como toda multiplicación por cero es cero ese debería ser el limite

Me gustaría saber si estoy en lo correcto. muchas gracias

Lo que me hace dudar, es esa parte que te marqué en rojo, es que hablando de límites no siempre algo que tiende a cero al multiplicarse por algo nos resultará cero. Por ejemplo  \[ \lim_{x \to 0}{x\cdot\dfrac{1}{x}} \]    ó    \[ \lim_{x \to 0}{x\cdot\dfrac{1}{x^2}} \]. Claro, aquí tenemos la indeterminación \[ 0\cdot \infty \]

Creo que tendrías que calcular \[ \lim_{x \to 0}\frac{senx}{x-\frac{5}{x}} \] o mostrar que no tiende a infinito.

Saludos

El límite es hacia infinito. Con eso, y viendo que \( 5/x\rightarrow{0} \)
Tenemos de nuevo \( sen x/x\rightarrow{0} \)

23 Julio, 2020, 06:47 am
Respuesta #7

ingmarov

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El límite es hacia infinito. Con eso, y viendo que \( 5/x\rightarrow{0} \)
Tenemos de nuevo \( sen x/x\rightarrow{0} \)

De acuerdo
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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23 Julio, 2020, 06:54 am
Respuesta #8

sugata

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El límite es hacia infinito. Con eso, y viendo que \( 5/x\rightarrow{0} \)
Tenemos de nuevo \( sen x/x\rightarrow{0} \)

De acuerdo
Con el principio me refería a que tú has dicho " no siempre algo que tiende a cero al multiplicarse por algo nos resultará cero"

23 Julio, 2020, 08:27 am
Respuesta #9

feriva

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También puedes razonar así, castrokin:

El valor absoluto del seno está entre cero y 1, por lo que \( (sen(x))^{2}
  \) es un valo finito y pequeño, por muy grande que sea “x”. Así que, como el denominador tiende a infinito, el límite es cero.

Saludos.

23 Julio, 2020, 08:24 pm
Respuesta #10

castrokin

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Muchas Gracias Chicos me han ayudado un montón