Autor Tema: Encontrando todas las funciones analíticas con una condición.

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21 Julio, 2020, 09:26 pm
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lindtaylor

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 Sea \( f \) analítica en \( D=\left\{z:|z|<1\right\} \) tal que \( f(0)=0 \) y \( |f(z)|\leq |z+3/2| \) para todo \( z\in D. \)
Pruebe que

(a) \( |f(1/2)|\leq 1 \)

(b) Encuentre todas las funciones \( f \) que cumplan (a)


Mi solución para  (a):
Sea \( g(z)=f(z)/(z+3/2) \) entonces \( g(0)=0 \) y \( |g(z)|\leq 1 \). Por el Lema de Schwartz, \( |g(z)|\leq |z|  \)para todo \( z\in D \) luego \( |f(z)|\leq |z|(|z+3/2|) \) por lo tanto \( |f(1/2)|\leq 1 \).

Para (b) estoy algo perdido.
....

22 Julio, 2020, 12:21 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( f \) analítica en \( D=\left\{z:|z|<1\right\} \) tal que \( f(0)=0 \) y \( |f(z)|\leq |z+3/2| \) para todo \( z\in D. \)
Pruebe que

(a) \( |f(1/2)|\leq 1 \)

(b) Encuentre todas las funciones \( f \) que cumplan (a)


Mi solución para  (a):
Sea \( g(z)=f(z)/(z+3/2) \) entonces \( g(0)=0 \) y \( |g(z)|\leq 1 \). Por el Lema de Schwartz, \( |g(z)|\leq |z|  \)para todo \( z\in D \) luego \( |f(z)|\leq |z|(|z+3/2|) \) por lo tanto \( |f(1/2)|\leq 1 \).

Para (b) estoy algo perdido.

¿Estás seguro de qué el enunciado es así?. ¿No será encontrar las funciones \( f \) en las cuales en (a) se tenga la igualdad?.

Saludos.