[Eliane Vásconez]

Hola   
Me podrían ayudar con la resolución de este ejercicio por favor

Editado desde la moderación del foro

Decidir si \( T:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^2} \) definida por

T(-1,1)=(2,1)
T(1,1)=(1,-4)
T(5,-1)=(-4,-11)

Resulta na transformación lineal de \( \mathbb{R^2} \) en \( \mathbb{R^2} \)

[ingmarov]

Hola Elaine, bienvenida

Debes tomar tiempo para leer las reglas del foro y el tutorial de Latex, por esta vez edité tu mensaje para que esté conforme a las reglas.

Sabemos que    (5,-1)=-3(-1,1)+2(1,1)

¿Cuál es el resultado de T(-3(-1,1)+2(1,1)) ?

Revisa las propiedades de las transformaciones lineales.

Saludos

[Eliane Vásconez]

Si gracias por el consejo lo tomare en cuenta.

Tengo una duda respecto a la resolución del ejercicio porque le multiplica por -3 y 2 nose no sé si me podria explicar de una forma más clara, la verdad nose mucho acerca del tema.
Saludos 
De antemano agradecería su paciencia conmigo. 

[Jorgealmeralla]

Hay un teorema que te dice:

Sean \( V \) un espacio vectorial de dimensión finita \( n \), y \( B = \left\{{\alpha_1,\alpha_2, \dots, \alpha_n}\right\} \) una base de \( V \).

Sean \(  \left\{{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n}\right\} \) elementos arbitrarios de un espacio vectorial \( W \)

Entonces existe una única Transformación Lineal \( T:V\rightarrow{}W \) tal que

\(  T(\alpha_1)=\beta_1 \)
\(  T(\alpha_2)=\beta_2 \)

\( \dots \)

\(  T(\alpha_n)=\beta_n \)

Ahora pasando a tu ejercicio:

\( \left\{{(-1,1),(1,1)}\right\} \) es una base de \( \mathbb{R^2} \)

Luego, por el teorema que te mencioné, exite una única Transformación Lineal tal que:

\(  T(-1,1)=(2,1) \)
\(  T(1,1)=(1,-4) \)

Notemos que:

\( (5,-1)=-3(-1,1)+2(1,1) \), entonces 

\( T(5,-1)=-3(2,1)+2(1,-4) = (-4,-11) \)

Por lo tanto, la si existe una transformación lineal que satisfaga las condiciones que quieres.

De hecho, la transformación lineal de manera explícita es esta:

\(  T(x,y) = (-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y,-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}y) \)

[Eliane Vásconez]

Muchas gracias por la respuesta en verdad a sido de mucha ayuda para mi, mil gracias. 

[ingmarov]

Hola

...Tengo una duda respecto a la resolución del ejercicio porque le multiplica por -3 y 2 no sé si me podría explicar de una forma más clara, la verdad no sé mucho acerca del tema.
...

¿Ya entendiste esto?

La intención del foro es ayudarte a aprender, a entender para que resuelvas por ti misma, estamos dispuestos a responder a tus dudas con ese fin.

Spoiler

Hay un teorema que te dice:

Sean \( V \) un espacio vectorial de dimensión finita \( n \), y \( B = \left\{{\alpha_1,\alpha_2, \dots, \alpha_n}\right\} \) una base de \( V \).

Sean \(  \left\{{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n}\right\} \) elementos arbitrarios de un espacio vectorial \( W \)

Entonces existe una única Transformación Lineal \( T:V\rightarrow{}W \) tal que

\(  T(\alpha_1)=\beta_1 \)
\(  T(\alpha_2)=\beta_2 \)

\( \dots \)

\(  T(\alpha_n)=\beta_n \)

Ahora pasando a tu ejercicio:

\( \left\{{(-1,1),(1,1)}\right\} \) es una base de \( \mathbb{R^2} \)

Luego, por el teorema que te mencioné, exite una única Transformación Lineal tal que:

\(  T(-1,1)=(2,1) \)
\(  T(1,1)=(1,-4) \)

Notemos que:

\( (5,-1)=-3(-1,1)+2(1,1) \), entonces 

\( T(5,-1)=-3(2,1)+2(1,-4) = (-4,-11) \)

Por lo tanto, la si existe una transformación lineal que satisfaga las condiciones que quieres.

De hecho, la transformación lineal de manera explícita es esta:

\(  T(x,y) = (-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y,-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}y) \)

[cerrar]

Jorgealmeralla, bienvenido y gracias por tu colaboración.
Toma un tiempo para leer las reglas del foro.

Saludos