Hola
Es conveniente que nuevamente leas las reglas del foro, los enunciados han de digitarse y las fórmulas han de escribirse en LATEX.
Hay un teorema que dice : Existe una y sola una transformación lineal \( T:V\rightarrow{W} \), donde V y W son espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente, tal que \( T(v_1)=w_1, \ T(v_2)=w_2, \ ... \ T(v_n)=w_n \) donde \( \left\{{v_1,v_2,...,v_n}\right\} \) es una base de V y \( w_1,w_2,...,w_n \) son elementos cualesquiera de W
En este caso \( V=P_2, \ W=R^3 \) las dimensiones serán respectivamente n=3, m=3
Por el teorema, si se considera los elementos de la base \( \beta \) de V y se los relaciona con elementos de \( R^3 \) como \( w_1,w_2,w_3 \) respectivamente, se tiene que existe una transformación lineal única tal que :
\( T(1+x+x^2)=w_1 \)
\( T(2+3x+x^2)=w_2 \)
\( T(-1-5x+x^2)=w_3 \)
Para que sea un isomorfismo, ha de ser inyectiva y sobreyectiva; para que una transformación lineal sea inyectiva el núcleo ha de ser \( Ker(T)=\left\{{O}\right\}\Rightarrow{dim \ Ker(T)=0} \), luego el teorema de dimensiones para la transformación lineal dice :
\( dim \ V=dim \ Ker(T)+dim \ Im(T)\Rightarrow{dim \ Im(T)=3} \)
Para que esto ocurra \( w_1,w_2,w_3 \) tienen que ser linealmente independientes.
Con esto creo puedes resolver.
Saludos
