[megasaw]

Saludos a todos, tengo esta ecuación de flujo de dinero de la cual debo despejar i (interés) pero no hallo una manera, la ecuación es la siguiente:
\(  C=Z*X*(\frac{1-Z^n}{1-Z})  \)
Siendo \(  Z=\frac{1}{1+i}  \)
\(  C=23870,
        X=709,
        n=60
 \)
 ¿Cómo lo puedo hacer?

[ingmarov]

Hola

Saludos a todos, tengo esta ecuación de flujo de dinero de la cual debo despejar i (interés) pero no hallo una manera, la ecuación es la siguiente:
\(  C=Z*X*(\frac{1-Z^n}{1-Z})  \)
Siendo \(  Z=\frac{1}{1+i}  \)
\(  C=23870,
        X=709,
        n=60
 \)
 ¿Cómo lo puedo hacer?

Creo que utilizar el álgebra no va a convenir en este caso, me parece que será mejor hacer uso de algún método numérico. Encontrar valores de Z que cumpla la ecuación, escoger el Z adecuado y finalmente depejar i.

[megasaw]

Hola

Saludos a todos, tengo esta ecuación de flujo de dinero de la cual debo despejar i (interés) pero no hallo una manera, la ecuación es la siguiente:
\(  C=Z*X*(\frac{1-Z^n}{1-Z})  \)
Siendo \(  Z=\frac{1}{1+i}  \)
\(  C=23870,
        X=709,
        n=60
 \)
 ¿Cómo lo puedo hacer?

Creo que utilizar el álgebra no va a convenir en este caso, me parece que será mejor hacer uso de algún método numérico. Encontrar valores de Z que cumpla la ecuación, escoger el Z adecuado y finalmente depejar i.

Puedes mencionar algún método que ayude? La verdad nunca he visto métodos numéricos así que se me complica más el despeje.

[ingmarov]

El método de Newton-Raphson es uno.

https://metnum-utp01.blogspot.com/p/newton-raphson_10.html

Estos métodos se utilizan para encontrar los ceros de funciones, así que deberemos usar la función (la que tienes modificada), debes sustituir los valores conocidos

\( \displaystyle f(Z)=-C+Z\cdot X\left(\dfrac{1-Z^n}{1-Z}\right) \)

[ingmarov]

Otra forma

Si i es muy pequeño, podemos decir que Z tiende a 1 por la izquierda.

\( \displaystyle\lim_{Z \to 1}{\dfrac{1-Z^{60}}{1-Z}}=\lim_{Z \to 1}{\dfrac{-60Z^{59}}{-1}}=60 \)

Entonces la ecuación nos queda

\( C=Z\cdot X(60) \)

Si i es suficientemente pequeño (si es lo normal), tendremos una buena aproximación.


Saludos

[megasaw]

Otra forma

Si i es muy pequeño, podemos decir que Z tiende a 1 por la izquierda.

\( \displaystyle\lim_{Z \to 1}{\dfrac{1-Z^{60}}{1-Z}}=\lim_{Z \to 1}{\dfrac{-60Z^{59}}{-1}}=60 \)

Entonces la ecuación nos queda

\( C=Z\cdot X(60) \)

Si i es suficientemente pequeño (si es lo normal), tendremos una buena aproximación.


Saludos

Muchas gracias!

[robinlambada]

Otra forma

Si i es muy pequeño, podemos decir que Z tiende a 1 por la izquierda.

\( \displaystyle\lim_{Z \to 1}{\dfrac{1-Z^{60}}{1-Z}}=\lim_{Z \to 1}{\dfrac{-60Z^{59}}{-1}}=60 \)

Entonces la ecuación nos queda

\( C=Z\cdot X(60) \)

Si i es suficientemente pequeño (si es lo normal), tendremos una buena aproximación.


Saludos

Lo que ocurre es que el resultado no corrobora la hipótesis, es decir: Usando \( C=Z\cdot X(60) \)

Obtenemos  \( Z\approx{}0'561 \)

Una aproximación mejor aunque no demasiado buena , como \( Z=\dfrac{1}{1+i}<1 \), entonces \( Z^{60}<<1 \), se puede despreciar frente a 1

y  \( C=Z\cdot{}X\dfrac{1-Z^n}{1-Z}\approx{}\dfrac{Z\cdot{}X}{1-Z} \)

Obteniendo  \( Z^{60}\approx{}0'17 \) algo un poco más realista, pero tampoco para tirar cohetes.

Saludos.

[ingmarov]

Hola robinlambada

Spoiler

Otra forma

Si i es muy pequeño, podemos decir que Z tiende a 1 por la izquierda.

\( \displaystyle\lim_{Z \to 1}{\dfrac{1-Z^{60}}{1-Z}}=\lim_{Z \to 1}{\dfrac{-60Z^{59}}{-1}}=60 \)

Entonces la ecuación nos queda

\( C=Z\cdot X(60) \)

Si i es suficientemente pequeño (si es lo normal), tendremos una buena aproximación.


Saludos

Lo que ocurre es que el resultado no corrobora la hipótesis, es decir: Usando \( C=Z\cdot X(60) \)

Obtenemos  \( Z\approx{}0'561 \)

Una aproximación mejor aunque no demasiado buena , como \( Z=\dfrac{1}{1+i}<1 \), entonces \( Z^{60}<<1 \), se puede despreciar frente a 1

y  \( C=Z\cdot{}X\dfrac{1-Z^n}{1-Z}\approx{}\dfrac{Z\cdot{}X}{1-Z} \)

Obteniendo  \( Z^{60}\approx{}0'17 \) algo un poco más realista, pero tampoco para tirar cohetes.

Saludos.

[cerrar]

Sí, si i no es suficientemente pequeña comparada con 1, no se obtiene una buena aproximación. Me gusta más como lo has resuelto.

Saludos

[robinlambada]

Para afinar más el resultado se puede iterar la ecuación: \( C=Z\cdot{}X\dfrac{1-Z^n}{1-Z} \) (*)

sustituyendo \(  z^{60}=0'17 \) en (*) y volviendo a calcular Z, y después es fácil calcular el interés.

Wolfram alpha da este resultado:

 \(  z\approx{}0'979117 \) y en la primera aproximación a mi me sale \(  z\approx{}0'97115 \)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+23870%3D709x%281-x%5E60%29%2F%281-x%29
Saludos.

[robinlambada]

Despejando Z, y llamando \( Z_i \) a la i-ésima iteración.

 \( Z_i=\dfrac{C}{C+X(1-Z_{i-1}^{60})} \) , para  \( i=1  \),  con  \( z_0^{60}=0'17  \)

Obtengo  \( Z_1\approx{}0'9759  \)

Saludos.