[maridiaz]

Necesito ayuda con estos ejercicios, mejor dicho si me los pueden explicar

Comprobar o verificar si las siguientes estructuras son grupos abelianos o conmutativos.
   
   (Ζ,•)
   (Q, -{0}, •)
   
Pruebe que el grupo (R,+) no es cíclico.

[manooooh]

Hola maridiaz, bienvenido al foro!!

En la primera parte lo que pides es inmediato. Debes verificar si para todo \( a,b\in A \), \( a*b=b*a \), que significa precisamente que \( (A,*) \), que era grupo, es abeliano.

Con respecto a la segunda pregunta, mira este video muy claro:

Si tienes dudas nos consultas, mostrando tus avances.

Saludos

[maridiaz]

gracias ya se que el segundo si lo e hice bien pero en la primera parte, no me explique bien primero debo probar que son grupo

en este (Ζ,•) lo que no entiendo es el elemento neutro y el opuesto, porque solo me explicaron la operación +

y en este (Q, -{0},   • ) no se a que se refiere esto -{0}

[manooooh]

Hola

No te disculpes. De hecho ahora que vuelvo a mirar yo me equivoqué al decir que ya eran grupos.

El símbolo \( \cdot \) o \( \bullet \) para esos conjuntos numéricos indican la multiplicación habitual. El conjunto \( \Bbb Q-\{0\} \) son todos las racionales exceptuando el \( 0 \).

Entonces debes verificar las condiciones para ser un grupo, y de los que sean ver cuáles son abelianos. ¿Las conoces?

Saludos

[maridiaz]

   (Ζ,•) este lo probé así

1 axioma 2 • (-3) = -6 ∈ Z

2 Asociativa (2 • 2) • 3 = 2 • (2 • 3) = 12 ∈ Z

3 Elemento neutro 1 • 3 = 3 • 1 = 3 ∈ Z

4 Opuesto 1 • -1 = -1

asi esta bien?

[manooooh]

Hola

Que pruebes las propiedades verdaderas para un par de números NO implica que dicha propiedad sea verdadera para todos los números.

Por ejemplo, en el caso de los inversos, debes ver si para todo \( x\in \Bbb Z \) existe \( x^{-1}\in\Bbb Z \) tal que \( xx^{-1}=1 \). Esto es la definición de inverso. Como estamos en multiplicación habitual, \( x^{-1}=1/x \).

Has verificado sólo con el \( -1 \), de donde su inverso es \( -1 \) pues \( -1(-1)=1 \). Pero... ¿qué sucede con otros números, como el \( 3 \)? ¿Existe algún entero tal que \( 3x^{-1}=1 \)? El único sería \( x^{-1}=1/3 \), pero esa fracción no pertenece a los enteros. Por ende ese grupo no tiene simétricos y por tanto no alcanza la estructura de grupo.

Intenta verificar otras propiedades.

Saludos

[maridiaz]

Gracias