[athairdos]

Hola; tengo la siguiente dudas (sobre notación, etc.):

1-Dada una base en un espacio vectorial, por ejemplo: (2, 2) y (1, 4) en \( \mathbb{R^2} \) la matriz formada por los mismos, se escribe en la forma \( \begin{pmatrix}{2}&{2}\\{1}&{4}\end{pmatrix} \) ó en la forma  \( \begin{pmatrix}{2}&{1}\\{2}&{4}\end{pmatrix} \)?

2-los vectores en el contexto anterior se escriben.como.vectores fila y, en cuyo caso, la multiplicacion de un vector (fila) por una matriz se hace con la.matriz en la derecha (multiplicación por derecha)?

3-también se puede representar cada vector como vector columna y, en ese caso, la multiplicacion por una matriz se hace con la matriz a izquierda?

4-si ambas opciones anteriores fueran posibles, de qué depende la elección de una u otra opción?

5-una forma de representación de una base (en un espacio vectorial) es por medio de la matriz que se puede formar con los vectores de la misma?

6-(si la anterior fuera correcta) un cambio de base se puede expresar como producto de dos matrices (cada una representando una base: ej. la matriz de la derecha sería la nueva.base)?

Gracias

[delmar]

Hola

Te ayudo con las 3 primeras.

1. Usualmente es en la segunda forma, observa que en ese caso, las columnas son las componentes de los vectores de la base respecto a la base canónica. En la primera forma, las filas serían las componentes de los vectores de la base respecto a la base canónica. ¿Para que se utiliza esa matriz?

2. Según el contexto anterior, la matriz de la base se escribiría en la primera forma y sí la multiplicación se haría con la matriz a la derecha. ¿Que representa el vector? ¿Que significa la multiplicación?

3. Correcto y nuevamente conveniente es responder a las interrogantes de la respuesta 2.


Saludos

Nota : Es conveniente mostrar el contexto del cual surgen las interrogantes.

[Luis Fuentes]

Hola

 Como comentario general el escribir las coordenadas de los vectores como filas o como columnas es cuestión de convenio. Probablemente los más extendido es hacerlo como columnas; pero uno puede adoptar uno u otro convenio y desarrollar en consecuencia toda la notación matricial en espacios vectoriales coherente con esa decisión. Básicamente las matrices representantes de cada concepto con un convenio serán las traspuestas de las que aparecen con el otro convenio, pero una vez que se interpreten en el contexto de espacios vectoriales obviamente los resultados serán los mismos.

Saludos.

[feriva]

6-(si la anterior fuera correcta) un cambio de base se puede expresar como producto de dos matrices (cada una representando una base: ej. la matriz de la derecha sería la nueva.base)?

Gracias

Hola, me parece que te puse por ahí como era el cambio de base con letras; pero te lo explico de otra forma.

Para empezar, imagina números sueltos, números reales; entonces puedes escribir, por ejemplo:

\( {\color{blue}2}\cdot3={\color{blue}1}\cdot6
  \)

Los números azules son las bases; la segunda base es equivalente a la matriz I, la identidad; la matriz diagonal de unos.

En ese caso (aunque fuera con matrices) podemos quitarlo y dejar la igualdad así

\( {\color{blue}2}\cdot3=6
  \).

Esto quiere decir que al multiplicar el vector que tiene coordenada 3 por la base 2 nos da el mismo vector pero en base canónica, que es 6.

Supón ahora que no conociéramos ese 3, tendrías

\( {\color{blue}2}\cdot x=6
  \).

¿Cómo haces para hallarlo? Pues como normalmente, dividiendo entre 2 a los dos lados; pero, mejor, pensarlo así: multiplicando a ambos lados por el inverso de 2:

\( {\color{magenta}\dfrac{1}{2}\cdot2}x=\dfrac{1}{2}\cdot6
  \).

Ese producto que he marcado en color magenta equivale a lo que es la matriz de cambio de base.

Resolviendo

\( {\color{magenta}1}x=3
  \).

\( x=3
  \).

Y hacer esto es hacer un cambio de base; es decir, despejar una incógnita en una ecuación. La diferencia es que normalmente tenemos varias coordenadas, la incógnita es un vector, y las operaciones son más complicadas.

Podemos tener casos donde ninguna de las bases sea la canónica; por ejemplo:

\( {\color{blue}2}\cdot6={\color{blue}3}\cdot4
  \).

Donde podríamos querer averiguar esto

\( {\color{blue}2}\cdot x={\color{blue}3}\cdot4
  \)

o esto

\( {\color{blue}2}\cdot6={\color{blue}3}\cdot x
  \)

En el primer caso, multiplicamos por el inverso del 2 a ambos lados, como antes, y así hallamos las coordenadas de “x” respecto de la base 2. En el segundo, multiplicamos por el inverso de 3 a los dos lados y “x” queda expresado respecto de la base 3. Si fueran matrices, multiplicaríamos por la matriz inversa correspondiente a los dos lados respetando el lado por donde multiplicamos (ya que no se cumple siempre la conmutativa). Eso no es ni mucho menos tan inmediato como hallar el inverso de un número; pero el manejo, la historia, en esencia es lo mismo, el cambio de base es eso, despejar algo en una ecuación.

Saludos.

[athairdos]

Gracias por las tres respuestas!

Respecto de las preguntas formuladas en la primera:

1-se me ocurre decir que la matriz formada por la base canónica es (igual.a) la matriz identidad Id; y que se usa como neutro respecto de la operación de multiplicación en el grupo formado por todas las matrices en un espacio vectorial de dimensión dada...etc.

2-los vectores (fila, en tal caso) representarían coordenadas en alguna base (en una base dada), y que a su vez representarían a un vector (no sé si se usa diferenciar entre el vector de coordenadas en una base, para un (otro; ó segundo) vector, y éste último; por otra parte: la multiplicación del vector de coordenadas y la matriz de la base representa una combinación lineal específica de los vectores de dicha matriz (la base) según unos coeficientes (coordenadas) específicos.

Por último, el contexto de las.preguntas es tratar de explicar o entender una matriz de la forma

\( \begin{pmatrix}{a}&{b}\\{0}&{1}\end{pmatrix} \).

Respecto de la última respuesta; he agregado un desarrollo en otro hilo anterior sobre cambio de base).

Gracias a todos de nuevo! Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

1-se me ocurre decir que la matriz formada por la base canónica es (igual.a) la matriz identidad Id;

Eso es cierto.

y que se usa como neutro respecto de la operación de multiplicación en el grupo formado por todas las matrices en un espacio vectorial de dimensión dada...etc.

No es sólo que se use; la matriz identidad ES el neutro del la operación  usual producto de matrices.

Habría que matizar lo de "matrices en un espacio vectorial de dimensión finita". Las matrices se definen con elementos en un cuerpo \( \Bbb K \). Sus columnas (o filas) pueden interpretarse como coordenadas de vectores de un espacio vectorial en una determinada base (supongo que te refieres a eso). También sus filas o columnas pueden intepretarse directamente como vectores del espacio vectorial \( \Bbb K^n \).

2-los vectores (fila, en tal caso) representarían coordenadas en alguna base (en una base dada),

Si (fila o columna, según el convenio que decidamos).

y que a su vez representarían a un vector (no sé si se usa diferenciar entre el vector de coordenadas en una base, para un (otro; ó segundo) vector, y éste último; por otra parte: la multiplicación del vector de coordenadas y la matriz de la base representa una combinación lineal específica de los vectores de dicha matriz (la base) según unos coeficientes (coordenadas) específicos.

Si.

Por último, el contexto de las.preguntas es tratar de explicar o entender una matriz de la forma

\( \begin{pmatrix}{a}&{b}\\{0}&{1}\end{pmatrix} \).

No entiendo que quieres decir ahí. Simplemente es una matriz con unos parámetros; pero eso no cambia sus posibles interpretaciones.

Saludos.