Autor Tema: Demostrar que no existe racional cumpliendo \(2^r=3\)

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04 Julio, 2020, 05:53 am
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Einsteindecasa

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Hola comunidad,

Me piden demostrar que no hay número racional que satisface que \(  2^{r} = 3  \)

Entonces, yo empiezo de la siguiente forma:

\(  2^{r-1}*2 =3  \)

\(  2^{r-1} =\dfrac{3}{2}  \)

\(  2^{r-1} \in{Q}  \)

Entonces:
\(  r-1 \in{Q}  \)

Por lo tanto:
\(  r \in{Q}  \)

Siento, que esta mal pero desconozco en que parte me he equivocado :( Espero su apoyo, gracias

04 Julio, 2020, 08:18 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola comunidad,

Me piden demostrar que no hay número racional que satisface que \(  2^{r} = 3  \)

Entonces, yo empiezo de la siguiente forma:

\(  2^{r-1}*2 =3  \)

\(  2^{r-1} =\dfrac{3}{2}  \)

\(  2^{r-1} \in{Q}  \)

Entonces:
\(  r-1 \in{Q}  \)


Por lo tanto:
\(  r \in{Q}  \)

¿Cómo se supone que deduces que si \(  2^{r-1} \in \Bbb{Q}  \) entonces \( r-1\in \Bbb Q \). Si damos eso por obvio desde el principio como \( 2^r=3\in \Bbb {Q} \) entonces \( r\in \Bbb {Q} \). Pero se supone que eso es precisamente lo que tienes que demostrar.

Puedes razonar por reducción al absurdo. Si existe \( r=n/m\in \Bbb{Q} \) con \( n\in \Bbb Z \), y \( m\in \Bbb N \) tendrías:

- Si \( n>0 \), \( 2^{n/m}=3\quad \Rightarrow{}\quad 2^n=3^m \). Pero eso es imposible porque \( 2^n \) es par y \( 3^m \) no lo es.

- Si \( n=0 \), \( 2^{n/m}=2^0=1\neq 3 \). ¡No!.

- Si \( n<0 \), \( 2^{n/m}=3\quad \Rightarrow{}\quad 1=3^m2^{-n} \). Pero eso es imposible; por ejemplo porque \( 3^m2^{-n} \) es par y \( 1 \) no lo es.

Saludos.

04 Julio, 2020, 09:54 am
Respuesta #2

feriva

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Hola comunidad,

Me piden demostrar que no hay número racional que satisface que \(  2^{r} = 3  \)


También puedes hacer esto (si no me equivoco, que a lo mejor sí).

\( r=\dfrac{n}{m}
  \) con “n,m” enteros positivos.

Entonces

\( (2^{n})^{1/m}=3
  \)

Elevas a “m” en los dos lados

\( 2^{n}=3^{m}
  \)

Y no puede ser, porque \( 2^{n}\in\mathbb{N}
  \), \( 3^{m}\in\mathbb{N}
  \); son potencias de primos distintos.

La única solución posible sería n=0 y m=0, pero \( r=\dfrac{0}{0}
  \) no vale.

Bueno, no me había fijado bien en lo que ponía Luis, es prácticamente lo mismo Y ahora que me fijo se me ha olvidado considerar una potencia negativa

Saludos.