Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:
Sea \( f \) analítica en \( \overline{D} \) menos un número finito de puntos interiores donde \( f \) tiene polos. Demuestre que si \( 0 < |f(z)| < 1 \) sobre \( ∂D \), entonces el número de polos de \( f \) en \( D \) es igual al número de raíıces de la ecuación \( f(z) = 1 \) en \( D \).
He intentado lo siguiente:
Escribimos \( 1-f=\frac{g}{h} \) con \( g,h \) analiticas en el disco unitario cerrado y entonces tenemos que \( 0<|1-\frac{g}{h}|<1 \) en la frontera, entonces \( g,h \) tienen el mismo número de ceros en el disco unitario; los ceros de \( g \) son soluciones de \( 1-f=0 \) y los ceros de \( h \) son polos de \( f \), entonces concluimos.
Me podrían decir si mi argumento es correcto o si tienen algun otro por favor. Gracias.