Autor Tema: Ceros y polos.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

27 Junio, 2020, 11:26 pm
Leído 97 veces

ASamuel

  • Novato
  • Mensajes: 121
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Sea \( f \) analítica en \( \overline{D} \) menos un número finito de puntos interiores donde \( f \) tiene polos. Demuestre que si \( 0 < |f(z)| < 1 \) sobre \( ∂D \), entonces el número de polos de \( f \) en \( D \) es igual al número de raíıces de la ecuación \( f(z) = 1 \) en \( D \).

He intentado lo siguiente:
Escribimos \( 1-f=\frac{g}{h} \) con \( g,h \) analiticas en el disco unitario cerrado y entonces tenemos que \( 0<|1-\frac{g}{h}|<1 \) en la frontera, entonces \( g,h \) tienen el mismo número de ceros en el disco unitario; los  ceros de \( g \) son soluciones de \( 1-f=0 \) y los ceros de \( h \) son polos de \( f \), entonces concluimos.

Me podrían decir si mi argumento es correcto o si tienen algun otro por favor. Gracias.

28 Junio, 2020, 09:01 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,999
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Sea \( f \) analítica en \( \overline{D} \) menos un número finito de puntos interiores donde \( f \) tiene polos. Demuestre que si \( 0 < |f(z)| < 1 \) sobre \( ∂D \), entonces el número de polos de \( f \) en \( D \) es igual al número de raíıces de la ecuación \( f(z) = 1 \) en \( D \).

He intentado lo siguiente:
Escribimos \( 1-f=\frac{g}{h} \) con \( g,h \) analiticas en el disco unitario cerrado y entonces tenemos que \( 0<|1-\frac{g}{h}|<1 \) en la frontera, entonces \( g,h \) tienen el mismo número de ceros en el disco unitario; los  ceros de \( g \) son soluciones de \( 1-f=0 \) y los ceros de \( h \) son polos de \( f \), entonces concluimos.

En lo que he marcado en rojo deberías de decir holomorfas. En lo que he marcado en azul entiendo que estás usando una versión del Teorema de Rouche. Quizá deberías de explicitar cuál y como la usas.

Más allá de estos detalles creo que está bien lo que haces.

Saludos.