[Vicks]

si A y B son permutables
\( (A-B)^2=A^2-B^2 \)
\( (A-B)(A-B)=A^2-B^2 \)
\( A.A-A.B-BA+B.B=A^2-B^2 \)
\( A^2-2AB+B^2\neq A^2-B^2 \)
¿falso?

[geómetracat]

Sí, la primera igualdad es falsa. Si \( A,B \) son permutables se tiene que \( (A-B)^2=A^2-2AB+B^2 \).

[Vickivictoria]

Gracias por tu ayuda

[manooooh]

Hola

Como bien dice geómetracat es falsa la propiedad (¡hola geómetracat! Perdona por no responder antes al otro hilo, ya lo haré con tiempo).

Pero me gustaría decir algo sobre el argumento de Vickivictoria, más bien conceptual. Escribe:

\( (A-B)^2=A^2-B^2 \)
\( (A-B)(A-B)=A^2-B^2 \)
\( A.A-A.B-BA+B.B=A^2-B^2 \)
\( A^2-2AB+B^2\neq A^2-B^2 \)

No se puede afirmar que \( (A-B)^2=A^2-B^2 \) porque no sabemos si aun es verdadero o falso, justamente hay que investigar si se da la igualdad. Por eso se puede mínimamente poner un signo de pregunta arriba del igual para decir "Todavía no sé si es cierto o no, pero estoy en ello". Quedaría así:

\( (A-B)^2\overset{\text{?}}{=}A^2-B^2 \)
\( (A-B)(A-B)\overset{\text{?}}{=}A^2-B^2 \)
\( A.A-A.B-BA+B.B\overset{\text{?}}{=}A^2-B^2 \)
\( A^2-2AB+B^2\neq A^2-B^2 \)

¿Se entiende a lo que voy?

Saludos

Mods

Título cambiado de "verdadero o falso matrices" a "Si \(A\) y \(B\) son permutables, entonces \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)".

[cerrar]

[Vickivictoria]

Si, se entiende, gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

\( (A-B)^2\overset{\text{?}}{=}A^2-B^2 \)
\( (A-B)(A-B)\overset{\text{?}}{=}A^2-B^2 \)
\( A.A-A.B-BA+B.B\overset{\text{?}}{=}A^2-B^2 \)
\( A^2-2AB+B^2\neq A^2-B^2 \)

¿Se entiende a lo que voy?

No hay porque escribirlo así. Se va analizar la veracidad o no de una igualdad y se hace una cadena de igualdades equivalentes, de forma que la veracidad de la última equivale a la veracidad de la primera.

Yo tengo otra objeción sin embargo; en realidad para justificar rigurosamente la falsedad de la igualdad propuesta hay que dar un contraejemplo, es decir un par de matrices \( A,B \) tales que \( (A-B)^2\neq A^2-B^2. \) Basta tomar \( A=2\cdot Id \) y \( B=Id \).

Saludos.

[manooooh]

Hola

No hay porque escribirlo así. Se va analizar la veracidad o no de una igualdad y se hace una cadena de igualdades equivalentes, de forma que la veracidad de la última equivale a la veracidad de la primera.

No estoy de acuerdo. No queda bien asegurar que primero son dos cosas iguales y luego dos cosas distintas. No me parece un entendimiento preciso de lo que se está enunciando.

Yo tengo otra objeción sin embargo; en realidad para justificar rigurosamente la falsedad de la igualdad propuesta hay que dar un contraejemplo, es decir un par de matrices \( A,B \) tales que \( (A-B)^2\neq A^2-B^2. \) Basta tomar \( A=2\cdot Id \) y \( B=Id \).

Sí, sí, claro, lo mejor es un contraejemplo concreto. Pero recuerdo que alguna vez dijiste algo así como: "Lo ideal es dar un contraejemplo en particular, pero también está bien mostrar que son distintos siempre y cuando todos los pasos estén bien justificados". Entonces bueno, no quise mencionar un caso en particular.

Saludos y gracias

[Luis Fuentes]

Hola

No estoy de acuerdo. No queda bien asegurar que primero son dos cosas iguales y luego dos cosas distintas. No me parece un entendimiento preciso de lo que se está enunciando.

Pues no estarás de acuerdo; pero es común cuando se analiza la posibilidad de una igualdad, manipular la misma (con el signo de igualdad sin interrogación alguna) hasta llegar a otra equivalente más sencilla o clara. Bien es cierto que lo más recomendable es aderezar todo ello con frases explicativas: "supongamos que la igualdad es cierta" o "vemos que esta igualdad... equivale a esta otra; como la última es falsa la primera también" y cosas así.

De hecho el uso de esa interrogación, aunque aparece a veces, es menos frecuente.

Sí, sí, claro, lo mejor es un contraejemplo concreto. Pero recuerdo que alguna vez dijiste algo así como: "Lo ideal es dar un contraejemplo en particular, pero también está bien mostrar que son distintos siempre y cuando todos los pasos estén bien justificados". Entonces bueno, no quise mencionar un caso en particular.

Con la afirmación en rojo quise decir que no es imposible dar un argumento riguroso que sea con un contraejemplo; en este caso sin embargo, lo hecho por Vickivictoria puede dar indicios de que es falso pero debe ser ratificado con un contraejemplo (lo más directo) o con algún argumento complementario.

Saludos,.

[feriva]

Esto del spoiler nada.

Spoiler

Hola, Vicki; una pregunta, no vaya a ser que des mal la respuesta: ¿el enunciado es el que pones en el título o la primera igualdad que pones después, ya dentro del post?

Porque, como ya ha hecho ver Geómetracat, si es el del título, es verdadero.

Si son permutables, se entiende que el producto conmuta, o sea, \( AB=BA \), con lo que las operaciones funcionan como una ecuación con números reales al desarrollar el cuadrado; por tanto, trivialmente el título es cierto (“trivialmente” para cualquiera de las personas que pasamos por aquí).

La impresión que me da, jugando a adivino (me puedo equivocar) es que te has despistado y al ver esto \( (A-B)^{2}
  \) te has dicho, automáticamente, la muletilla “...diferencia de cuadrados”; y en realidad es la diferencia al cuadrado, que no es lo mismo.

[cerrar]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, Vicki; una pregunta, no vaya a ser que des mal la respuesta: ¿el enunciado es el que pones en el título o la primera igualdad que pones después, ya dentro del post?

El título lo había modificado yo y me confundí. Lo he corregido.

Saludos.