[Mariomarquez]

Hola! Este es mi primer mensaje en el foro, estoy empezando a estudiar matemáticas por gusto. Tengo un nivel de bachillerato algo oxidado por el tiempo
y ahora estoy con libros de calculo de primero de grado en matemáticas.

 Dicho esto, tengo dudas con el siguiente problema:

Demuestre que los puntos \( A(2, -1), B(1, 3)  \text{ y } C(-3, 2) \) son tres vértices de un cuadrado y calcule el cuarto vértice.

He solucionado la primera parte del ejercicio (demostrar que los tres puntos son los vértices de un cuadrado). Las rectas \(  AB \text { y } BC  \) son perpendiculares y tienen la misma longitud. Ahora queda calcular el cuarto vértice y aquí es donde no se como seguir.

Espero respuestas. Un saludo.

   

[Juan Pablo Sancho]

Ten en cuenta que si \(  P = (x,y)  \) es el vértice que falta tenemos que:
\( \vec{AB} = \vec{CP}  \) o \( \vec{AC} = \vec{BP}  \) con \( \|\vec{AB}\| = \|  \vec{CB}\|  \)

[ingmarov]

Hola Mario, Bienvenido

Hola! Este es mi primer mensaje en el foro, estoy empezando a estudiar matemáticas por gusto. Tengo un nivel de bachillerato algo oxidado por el tiempo
y ahora estoy con libros de calculo de primero de grado en matemáticas.

 Dicho esto, tengo dudas con el siguiente problema:

Demuestre que los puntos \( A(2, 1), B(1, 3)  \text{ y } C(3, 2) \) son tres vértices de un cuadrado y calcule el cuarto vértice.

He solucionado la primera parte del ejercicio (demostrar que los tres puntos son los vértices de un cuadrado). Las rectas \(  AB \text { y } BC  \) son perpendiculares y tienen la misma longitud. Ahora queda calcular el cuarto vértice y aquí es donde no se como seguir.

Espero respuestas. Un saludo.

   

Mira una imagen, supongo que tienes algún error con los puntos de tu mensaje.



Saludos

[Mariomarquez]

Muchas gracias por contestar! Perdón, ya se que puede ser un poco molesto pero al escribir el mensaje copié el enunciado desde pdf y se perdió algún signo negativo. He modificado el mensaje con los puntos originales.

[Mariomarquez]

Hola Juan Pablo. No manejo esa notación todavía. Si me lo pudieras explicar con palabras te lo agradecería.

[ingmarov]

Hola

Te doy las ideas para resolver el problema.
Ya tienes dos rectas que contienen, cada una, uno de los dos lados del cuadrado que ya tienes, se cortan en uno de sus vértices (punto dado), conoces dos puntos más, por estos puntos pasan rectas paralelas a las rectas que ya tienes y que contienen a los lados desconocidos, estas rectas se cruzan en el vértice pedido.

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Se adelanto ingmarov, lo pongo es spoiler.

Spoiler

Tienes que:
\( \vec{CB} = B-C = (-4,-1)  \) con \( \|\vec{CB}\| = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}  \)
\( \vec{BA} = A-C = (1,-4)  \) con \( \|\vec{BA}\| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}  \)

\( \vec{CB} \cdot \vec{BA} = -4 + 4 = 0  \) los vectores son perpendiculares.

Sea \( P=(x,y) \) el vértice del cuadrado que falta entonces debe verificar que :
\( \vec{PA} = \vec{CB}  \) o \(  \vec{BA} = \vec{CP}  \) usamos la primera igualdad y queda:

\( (2-x,-1-y) = (4,1)  \) entonces \(  P = (-2,-2)  \)

[cerrar]

[Mariomarquez]

Muchas gracias.